Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 10

1 Две окружности радиусами  и  внешним образом касаются друг друга и касаются одной прямой в точках A и B. Пусть C - точка первой окружности, диаметрально противоположная точке A. Отрезок CB пересекается с первой окружностью в точке M. Найти отношение CM:MB.

1 На отрезке AB длины 2R как на диаметре построена полуокружность. В получившуюся фигуру вписана окружность радиуса R/2. Найти радиус окружности, касающейся отрезка AB, полуокружности и вписанной окружности.

15а) На отрезке AB длины 2R как на диаметре построена полуокружность. В получившуюся фигуру вписана окружность радиуса R/4. Найти радиус окружности, касающейся отрезка AB, полуокружности и вписанной окружности.

Две окружности радиусами  и  касаются внутренним образом. Найти радиус третьей окружности, касающейся двух данных окружностей и линии центров.

Найти радиус окружности, внутри которой расположены две окружности радиуса  и одна окружность радиуса  так, что каждая окружность касается трех других.

Расстояние между центрами двух окружностей равно 6, их радиусы равны 2 и 3. Прямая касается меньшей окружности в точке C и пересекает больщую окружность в точках A и B. Известно, что AB=2AC. Найдите длину хорды AB.

Расстояние между центрами двух окружностей равно 4, их радиусы равны 2 и 3. Прямая касается меньшей окружности в точке C и пересекает больщую окружность в точках A и B. Известно, что AB=2AC. Найдите длину хорды AB.

Через вершину А угла, равного 60⁰, проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках B и D, а его биссектрису – в точке C. Найти сумму длин отрезков AB и AD, если площадь четырехугольника ABCD равна 1.

Через вершину А некоторого угла проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках B и D, а его биссектрису – в точке C. Найти величину угла BAD, если площадь четырехугольника ABCD равна , а  сумма длин отрезков AB и AD равна 6.

Векторы. Разложение по базису. Коллинеарность. Скалярное произведение. Уравнения прямой и окружности. Метод координат.

Упражнения

На координатной плоскости даны точки A(-1; , B(2;- , C(3; . Найти координаты следующих векторов: , ,

Дан параллелограмм ABCD. Точки M и N- середины сторон BC и CD Найти . Разложить по векторам  и  следующие векторы: , , , , .

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Доказать, что:

а), б), в)  (Здесь О- любая точка пространства)

Пусть A₁, B₁, C₁, - середины сторон BС, AC и AB треугольника ABC. Доказать, что:

Пусть H - точка пересечения высот, точка O- центр окружности, описанной около треугольника ABC. Доказать, что .

Дан треугольник ABC. На стороне BC взята точка M так, что BM:MC=2:1. Разложить вектор  по векторам  и .

В каком отношении делит сторону BC точка K, если ?

5а) Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Разложить векторы  и  по векторам  и .

Какому условию должны удовлетворять векторы  и , чтобы выполнялось условие а) , б) , в)

г) вектор  делит пополам угол между  и .

Даны три вектора ,  и , каждые два из которых неколлинеарны. Найти их сумму, если вектор  коллинеарен вектору , а вектор  коллинеарен вектору .

7а) Даны два неколлинеарных вектора , . Найти число , если векторы  и  коллинеарны

7б) Даны два неколлинеарных вектора , . Найти вектор: а) направленный по биссектрисе угла между ними, б) перпендикулярный вектору

Даны вектора  и . Разложить вектор  по векторам  и .

Даны три некомпланарных вектора ,  и , каждые два из которых неколлинеарны. Найти числа  и , при которых векторы  и  коллинеарны.

1 Даны три вектора =(3;- , =(1;- и =(-1; . Найти разложение вектора  по векторам  и .

1 Даны четыре точки A(-2;-3; , B(2;1; , C(1;4; , D(-7;-4; . Доказать, что векторы  и  коллинеарны. Компланарны ли векторы ,  и ?

1 Векторы и  служат сторонами треугольника ABC. Найти длину медианы AM. (- орты прямоугольной системы координат)

1 Написать уравнение прямой (в каноническом виде и в параметрическом виде), проходящей через точку (2; а) параллельно вектору =(3;- , б) перпендикулярно вектору =(3;-