Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов

Планиметрия

Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов.

Упражнения

Стороны треугольника равны a, b, c. Доказать, что биссектриса, проведенная к стороне a, делит ее на части в отношении b:c..

Медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на три равные части. Найти углы треугольника.

В равнобедренном треугольнике ABC прямая, проведенная через вершину основания, делит его на два равнобедренных треугольника. Найти углы треугольника ABC.

В остроугольном треугольнике ABC  точка Н - точка пересечения высот (ортоцентр), АВ=СН. Найти угол С.

Какие треугольники можно разрезать на два подобных друг другу треугольника?

В  на стороне AC взята точка M так, что . Известно, что AM = a, MC = b. Найти длину стороны AB.

В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей

На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку C взята точка D так, что . Известно, что AB= a, DC= b. Найти длину стороны AC.

Основания трапеции равны 3 и 10, боковые стороны равны 4 и 5. Найти угол между прямыми, на которых лежат боковые стороны трапеции.

Найти отношение оснований трапеции, если известно, что средняя линия делится диагоналями на три равные части.

В равнобедренном  (AB=BC) медиана AD перпендикулярна биссектрисе CE. Найти величину угла ACB.

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна l, а высота, опущенная на гипотенузу равна h. Найти площадь этого треугольника.

В четырехугольнике ABCD дано . Доказать, что стороны AD BC взаимно перпендикулярны. т) В окружность вписан . Расстояния от вершин А и С до касательной к окружности, проведенной в точке В, равны  и . Найти высоту BH в .

Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной  и . Найти площадь треугольника.

Задачи

Найти острые углы прямоугольного треугольника, если известно, что отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно .

В  на продолжении медианы ВМ взята точка К так, что . Известно, что АВ=5, ВС=3, СК=4. Найти АК.

В  точка К - середина медианы ВМ. Известно, что АВ=6, АК=5, СК=4. Найти ВС.

Хорда AB стягивает дугу , Точка C лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. Известно, что AD=2, BD=1, . Найти площадь .

В  длины сторон AB=4, BC=3, AC=5. На стороне AB взята точка D так, что DB=7/8. Через точки C, D и B проведен окружность, пересекающая сторону AC в точке E. Найти длину отрезка BE.

В трапеции ABCD известны основания AD=39, BC=26 и боковые стороны AB=5 и CD=12. Найти радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD.

В треугольнике ABC сторона AC равна a, сторона AB равна c; биссектриса  пересекает сторону BC в точке D такой, что DA=DB. Найдите длину стороны BC

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстоянии  и  от концов гипотенузы. Найти стороны этого треугольника.

В прямоугольном  с катетами AC и BC медиана AM и биссектриса BN пересекаются в точке K. Известно, что BK=3, NK=2. Найти стороны .

В остроугольном  известны длина медианы AM=5, медианы BN=7/2, высоты BH=3. Точка M лежит между B и H. Найти площадь .

В  проведены биссектрисы AD и CE. Найти отношение площадей треугольников ABC и AED, если AB=21, AC=28, BC=20.

В окружность радиуса 13 вписан . Его высота BH=17, а точка H разбивает сторону AC на отрезки, разность которых равна 10. Найти площадь .

Катеты прямоугольного треугольника равны  и  (). Окружность проходит через середины меньшего катета и гипотенузы и касается большего катета. Найти длину хорды этой окружности, высекаемой на гипотенузе.

В  длины сторон связаны соотношением . Доказать, что медианы AM и BN перпендикулярны.

Доказать, что прямая соединяющая основания двух высот остроугольного , отсекает от него подобный треугольник.

В окружности проведена хорда, составляющая  диаметра. Точка М, лежащая на хорде, делит ее в отношении 1:2, а расстояние от М до центра окружности равно 1. Найти радиус окружности.

Острый угол ABC ромба ABCD равен . Окружность проходит через центр ромба, касается прямой AB в точке B и пересекает сторону CD в точке E. Найти, в каком отношении точка E делит отрезок CD.

В  отрезок, соединяющий середины AB и BC, равен 3, сторона AB=7, . Найти длину BC.

Стороны треугольника равны 2, 3 и 4. Найти радиус окружности, проходящей через концы большей стороны и середину меньшей стороны.

В  проведена высота BH, основание которой лежит на стороне AC. Известно, что AB=8, BC=4, AH=5HC. Найти радиус окружности, описанной около

В  проведена высота BH, основание которой лежит на стороне AC. Известно, что AH=4, CH=1, 2AB=3BC. Найти радиус окружности, вписанной в

Прямоугольный  с катетами AC=3, BC=1 вписан в прямоугольник AMNK. Известно, что вершина C лежит на стороне MN так, что MC:CN=2, и вершина B лежит на стороне NK прямоугольника. Найти площадь треугольника ABK.