Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 11

1 На плоскости найти точку, симметричную точке A(6; 1) относительно прямой

14а) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(3; перпендикулярно прямой .

1 Единичные векторы ,  и , удовлетворяют условию . Найти .

1 Используя скалярное произведение векторов, найти углы треугольника с вершинами A(-2;-3; , B(2;1; , C(1;4; .

1 Найдите вектор , коллинеарный вектору =(2;1;- , и удовлетворяющий условию .

17а) Даны векторы =(3;-1; , =(1;2;- . Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен оси Oz и удовлетворяет условиям , .

1 Найти угол между векторами  и . если  и , .

1 Доказать тождество  

2 Вывести уравнение линии- геометрического места точек M таких, что , где ,  (уравнение эллипса).

20а) Вывести уравнение линии- геометрического места точек M таких, что , где ,  (уравнение гиперболы).

2 Показать, что геометрического места точек, равноудаленных от точки  и от прямой  есть парабола.

Задачи

Пусть S сумма квадратов сторон треугольника, Q сумма квадратов расстояний от точки пересечения медиан до вершин этого треугольника. Найти S/Q.

В треугольнике ABC AB=BC, медианы AD и CE взаимно перпендикулярны. Найти углы треугольника ABC

В треугольнике ABC AB=BC, медиана AD и биссектриса CE взаимно перпендикулярны. Найти угол ADB.

Найти углы прямоугольного треугольника, в котором медианы к гипотенузе и одному из катетов, взаимно перпендикулярны.

4а) Найти угол между медианами, проведенными к катетам прямоугольного треугольника с углом а) , б) .

4б) На сторонах AB и BC квадрата ABCD взяты точки K и M так, что 3AK=2BM=AB. Найти угол между прямыми DK и AM.

В окружность вписан правильный . Пусть М - произвольная точка окружности. Доказать, что сумма  не зависит от положения точки М.

Доказать, что точка M пересечения медиан треугольника ABC дает наименьшее возможное значение суммы .

Луч света, выпущенный из точи (0, в направлении точки (2, , отражается от прямой  по закону "угол падения равен углу отражения". Найти точку пересечения отраженного луча с осью Ox. (система координат Oxy прямоугольная)

7а) Луч света, выпущенный из точи (0, в направлении точки (4, , отражается от прямой  по закону "угол падения равен углу отражения". Найти точку пересечения отраженного луча с осью Ox. (система координат Oxy прямоугольная)

В прямоугольном  катет AB=3, катет AC=6. Центры окружностей радиусов 1, 2, 3 находятся соответственно в точках A, B, C. Найти радиус окружности, касающейся всех трех окружностей внешним образом.

В круге с центром О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD. На радиусе OB взята точка К так, что 3OK=OB, а на радиусе OD взята точка M так, что 2OM=OD. Доказать, что точка пересечения прямых CK и AM лежит на данной окружности.

1 На плоскости дан прямой угол. Окружность, центр которой лежит внутри угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках А и В и пересекает биссектрису угла в точках С и Е. Найти радиус окружности, если .

Отношение отрезков и площадей. Метод центра масс.

Задачи.

В  на стороне AC взята точка M так, что AM:MC=2:3, на стороне BC взята точка K так, что BK:KC=1:2. В каком отношении точка пересечения отрезков BM и AK делит каждый из них?

1а) Точка K делит медиану AD треугольника ABC в отношении 3:1, считая от вершины A. В каком отношении прямая BK делит площадь ABC?

В  на стороне AC взята точка M, на стороне BC взята точка K. Отрезки BM и AK пересекаются в точке O и делятся в отношении BO:OM=2:3 AO: OK=1:2. Найти, в каком отношении точки M и K делят стороны AC и BC.

В правильном шестиугольнике  со стороной 1 точка M - середина стороны АВ, точка N - середина стороны ВС. Отрезки FN и EM пересекаются в точке К. Найти длину отрезка МК.

Точки M и N лежат на боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC так, что , . Найти, в каком отношении отрезок MN делит высоту BD треугольника ABC.