Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 8

Точка O - центр окружности, вписанной в , Доказать, что центр окружности, проходящей через точки A, O и C, лежит на биссектрисе угла B.

Задачи

В равнобедренном  АВ=ВС=8, АС=4. На стороне ВС выбрана точка М так, что окружности, вписанные в  и в  касаются друг друга. Найти площади  и .

В  АВ=7, ВС=8, АС=9. На стороне АС выбрана точка М так, что окружности, вписанные в  и в  касаются друг друга. Найти, в каком отношении отрезок ВМ делит площадь .

1б) В прямоугольном  с катетами АВ=3, АС=4 на гипотенузе ВС выбрана точка М, так, что окружности, вписанные в  и в  касаются друг друга. Найти площади  и .

В угол вписана окружность радиуса , длина хорды, соединяющей точки касания равна . Параллельно хорде проведены две касательные к окружности. Найти площадь трапеции, образованной касательными и сторонами угла.

В равнобедренной трапеции ABCD основание , . Известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются. Найти площадь трапеции.

Около окружности радиусом R описана равнобочная трапеция. Расстояние между серединами диагоналей равно . Найти площадь трапеции.

В радиус вписанной окружности равен 3, сторона AB=13, а косинус угла С равен 3/5. Найти две другие стороны треугольника.

6а) В радиус вписанной окружности равен 3/2, сторона AB=5, а площадь  равна 12. Найти две другие стороны треугольника.

Трапеция описана около окружности. Известно, что боковая сторона делится точкой касания на отрезки длиной 1 и 4, а косинус угла между боковыми сторонами равен 4/5. Найти длину другой боковой стороны.

В равнобедренном  на основании AC взята точка M так, что . В треугольники ABM и CBM вписаны окружности. Найти расстояние между точками касания этих окружностей со стороной BM.

Прямая, перпендикулярная стороне параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найти острый угол параллелограмма, если его стороны равны  и .

Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен . Найти площадь треугольника.

В трапеции ABCD , . Окружность радиуса R, центр которой лежит на основании AD, касается сторон AB, BC и CD. Найти площадь трапеции.

В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны AB в точке M и основания AD в точке N. Отрезки MN и AC пересекаются в точке P так, что NP:PM=2. Найти отношение оснований трапеции.

В равнобедренном  стороны AB=BC=8, AC=4. На стороне BC выбрана точка M так, что окружности, вписанные в треугольники ABM и ACM, касаются друг друга. Найти площади треугольников ABM и ACM.

В прямоугольном  с катетами AB=3, AC=4 на гипотенузе BC выбрана точка M так, что окружности, вписанные в треугольники ABM и ACM, касаются друг друга. Найти площади треугольников ABM и ACM.

В трапецию ABCD вписана окружность. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N соответственно, причем AM:MB=4:3 и CN:ND=1:3. Найти отношение AB:CD боковых сторон тапеции.

Система окружностей и прямых

Упражнения

Даны две окружности радиусами  и , расстояние между центрами . Найти длину их общей внешней касательной; длину их общей внутренней касательной (расстояние между точками касания.

Две окружности касаются друг друга внешним образом. Отношение длины их общей касательной к расстоянию между центрами равно 3/5. Найти отношение радиусов окружностей.

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке C и некоторой прямой в точках A и B. Доказать, что треугольник ABC прямоугольный.

Длина внешней касательной двух окружностей радиусами  и  в два раза больше длины их внутренней касательной. Найти расстояние между центрами этих окружностей.

Даны две окружности с центрами  и  радиусами  и , расстояние . Найти радиус окружности , касающейся двух данных и имеющей центр на прямой . Рассмотрите все возможные случаи расположения окружностей ,  и .