Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 13

Точка O лежит внутри выпуклого четырехугольника. Пусть M, N, K и L –точки симметричные точке O относительно середин сторон этого четырехугольника. Доказать, что MNKL –параллелограмм.

В треугольнике ABC проведена высота BH. Точка O – центр описанной окружности. Доказать, что

Доказать, что биссектрисы углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого параллельны сторонам параллелограмма и равны разности соседних сторон параллелограмма.

Существует ли треугольник, у которого середины а) биссектрис лежат на одной прямой? б) высот лежат на одной прямой?

В  точка O -центр описанной окружности, точка H -точка пересечения высот. Доказать, что длина отрезка AH вдвое больше расстояния от точки O до стороны BC.

На сторонах  построены вне его правильные треугольники , , . Доказать, что прямые , ,  пересекаются в одной точке.

Доказать, что для любого прямоугольного треугольника выполняется неравенство , где r- радиус вписанной окружности, h- высота, опущенная на гипотенузу.

В треугольнике ABC точка K на стороне AC выбрана так, что BC:BA<CK:KA. Угол BAC равен , угол BKC равен , а внешний угол треугольника ABC при вершине C равен . Доказать, что .

Задачи на построение.

Дан отрезок длиной 1. Построить отрезки длиной ,, .

Дан отрезки длиной  и . Построить отрезки длиной .

Дан угол . Построить угол

Дана окружность, центр которой не указан. Постройте центр этой окружности.

Построить биссектрису угла, вершина которого недоступна.

Внутри острого угла с недоступной вершиной A дана точка B. Построить прямую AB.

Построить окружность данного радиуса, вписанную в заданный угол.

Построить треугольник по трем его медианам.

Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне.

Построить треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Дана окружность с центром О и точка А вне круга. Провести касательную к окружности из точки А

Даны две непересекающиеся окружности. Построить общую касательную к данным окружностям. Сколько решений имеет задача?

Даны окружность и прямая. Найдите на прямой все точки, касательные из которых к окружности имеют заданную длину.

В данном треугольнике провести прямую параллельно основанию так, чтобы сумма длин отрезков боковых сторон, заключенных между этой прямой и основанием была равна основанию.

Построить треугольник по периметру и двум углам.

Построить треугольник, если даны: прямая, на которой лежит основание треугольника, и две точки-основания высот, опущенных на боковые стороны.

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности катетов.

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе прямого угла.

Через точку пересечения двух окружностей провести прямую, образующую равные хорды при пересечении с этими окружностями.

Построить треугольник по стороне, медиане и высоте, проведенным к данной стороне.

Построить треугольник по основанию, высоте и отношению боковых сторон.

Построить треугольник по основанию, медиане к основанию и отношению боковых сторон.

Построить параллелограмм по основанию, высоте и отношению диагоналей.

Внутри заданного угла находится заданная точка А. Построить окружность, которая проходит через точку А и касается сторон угла. Сколько решений имеет задача?

Дана прямая  и две точки А и В, не принадлежащие . Построить окружность, которая проходит через А и В и касается прямой . Сколько решений имеет задача?

Через заданную точку М внутри заданного угла провести прямую так, чтобы точка М была серединой отрезка этой прямой внутри угла. Когда задача имеет решение?

Через заданную точку М внутри заданного угла провести прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник заданного периметра.

Геометрическое место точек. Метод координат.