Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 5

В круге проведены две параллельные хорды, расстояние между которыми равно радиусу круга. Найти острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.

В окружности радиуса 1 проведены диаметр AC и хорда . В точке C проведена касательная, которая пересекает продолжение AB в точке D. Найти длину отрезков BD и CD.

Через некоторую точку плоскости проведены три прямые. Два из шести образовавшихся углов равны  и . Найдите углы треугольника, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки плоскости на данные прямые.

Одна сторона треугольника равна , а прилежащие к ней углы равны  и . Найти две оставшиеся стороны треугольника.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6, а высота, опущенная на нее, равна 3. Найти радиус описанной окружности

Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника и проходящая через противоположную вершину, делит треугольник на два треугольника. Доказать, что радиусы окружностей, описанных около полученных треугольников, равны.

Окружность проходит через центр квадрата, вершину квадрата и середину стороны, не содержащей этой вершины. Найти радиус окружности, если сторона квадрата равна 1.

В выпуклом четырехугольнике ABCD известны углы: , , . Найти .

Внутри угла с вершиной О, отличного от прямого, взята точка М, А и В - основания перпендикуляров, опущенных из М на стороны угла. Доказать, что прямая, проходящая через середины ОМ и АВ, перпендикулярна АВ.

Внутри угла с вершиной О равного  взята точка М. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из М на стороны угла, равно . Найти длину отрезка ОМ

О параллелограмме ABCD известно, что  и что центры окружностей, описанных около  и , лежат на диагонали BD. Найти .

Через концы основания AD трапеции ABCD проведена окружность, пересекающая прямые AB и CD в точках K и M. Доказать, что точки B, C, K, M лежат на одной окружности.

Даны две пересекающиеся окружности одинакового радиуса с центрами  и  ( больше радиуса). Через точку А пересечения этих окружностей проведен луч , пересекающий вторую окружность в точке В. Луч  пересекает эту же окружность в точке С. Доказать, что .

В окружности проведен радиус OA и хорда BC, перпендикулярная к AO. Через точку C проведена касательная до пересечения с лучом OA в точке E. Доказать, что прямая CA- биссектриса угла BCE

Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A. Отрезок AB- диаметр большей окружности, хорда BD большей окружности касается меньшей окружности в точке C. Доказать, что AC является биссектрисой угла BAD

Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая длиной . Отрезок секущей внутри окружности больше внешнего на длину касательной. Найти длину касательной.

Из одной точки проведены к окружности две касательные и секущая так, что точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами трапеции. Найти отношение оснований трапеции, если угол между касательными равен  

На продолжении стороны АВ треугольника АВС выбрана точка М так, что ВМ=ВС (точка В лежит между М и А). Известно, что радиус окружности, описанный около, равен 3, АС=2. Найти радиус окружности, описанный около.

На сторонах  взяты точки D, F, E так, что DF AC, DE BC. Доказать, что , где  и - радиусы окружностей, описанных около  и , -радиус окружности, описанной около

В треугольнике ABC угол A равен , биссектрисы BD и CE пересекаются в точке O. Доказать, что OD=OE.

Задачи

Дана окружность радиуса 1. Из точки М проведены касательная МА и секущая МВ, проходящая через центр окружности. Найти расстояние от точки М до центра окружности, если МВ=2МА

Окружность радиуса R проходит через вершину А равнобедренного , касается основания ВС в точке В и пересекает АС в точке Е так, что ЕС=3АЕ. Найти стороны .

Окружность, проходящая через вершину С , касается стороны AB в точке L и пересекает стороны AC, BC в точках P и Q соответственно. Найти стороны AC и BC, если известно что AP=3, AL=6, BL=8, и прямая PQ параллельна AB