Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 12

В равнобедренном  (AB=BC) , биссектриса AE пересекает высоту BD в точке O, причем OB:OD=3. В каком отношении высота AF делит сторону BD?

В  проведена высота BD. Через точку D проведена прямая параллельная стороне AB до пересечения со стороной BC в точке K. Найти отношения BK:KC, если площадь треугольника BDK составляет 3/16 площади .

В параллелограмме проведены биссектрисы его внутренних углов. Площадь полученного от их пересечения четырехугольника составляет 1/4 площади параллелограмма. Найти отношение длин сторон параллелограмма.

На сторонах AB, BC, AC треугольника  взяты точки K , L, М так, что AK=2KB, 2BL=3LC, 3CM=4MA. Найти площади треугольников AKM, BKL, CLM, KLM, если площадь  равна S.

На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что

AM:AB =AN:AD=1:3. Найти площадь четырехугольника AMCN, если площадь параллелограмма равна S.

Точка М- середина стороны BC параллелограмма ABCD, точка N взята на стороне AD так, что AN=2ND. В каком отношении отрезок MN делит диагональ AC?

На стороне BC в  выбрана точка М так, что BM=2CM. На сторонах AC и AB взяты соответственно точки K и L так, что AK=2CK и BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM?

На стороне BC в  выбрана точка М так, что 3BM=CM. В каком отношении прямая AM делит медиану, проведенную из вершины B?

На стороне BC в  выбрана точка М, а на стороне AB выбрана точка N так, что BM:MC=1:2, BN:NA=3:2. Точка К лежит на стороне AC так, что AK:KC=4:3 . В каком отношении прямая MN делит отрезок BK?

На сторонах треугольника  взяты точки K, M, P так, что AK:AB=BM:BC=CP:CA=1:3. Доказать, что площадь треугольника, ограниченного прямыми AM, BP, CK составляет 1/7 площади треугольника .

На сторонах AB, BC, AC треугольника  взяты точки K, M, P. Известно, что AK:KB=2:5, BM:MC=7:4, и треугольники AKP и CMP равновелики. Найти CP:PA.

На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки: K на AB, L на BC, M на CD, N на AD. При этом AK=2KB, LC=3BL, CM=MD NA=5DN. Найти площадь шестиугольника AKLCMN.

1 Дан  площади 1. На его медианах AK, BL и CM взяты точки P, Q и R так, что AP=PK, QL=2BQ, 4CR=5RM. Найти площадь треугольника PQR.

1 В параллелограмме ABCD на сторонах BC и CD взяты точки K и L так, что BK:KC=2:1, CL:LD=3:5. Найти площадь треугольника AKL, если площадь четырехугольника BKLD равна 21.

1 В  на сторонах AB, AC, BC взяты соответственно точки , ,  так, что  и проведены отрезки , , . Найти отношение площади образовавшегося внутреннего треугольника к площади .

Задачи на доказательство.

Доказать, что в любом треугольнике , где , ,  -высоты, -радиус вписанной окружности.

Доказать, что в любом треугольнике , где  медианы, - периметр треугольника.

Доказать, что если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.

В параллелограмме ABCD точки M и N - середины сторон BC и CD соответственно. Доказать, что отрезки AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

В угол вписаны две окружности,  и - точки касания первой окружности со сторонами угла,  и - второй. Отрезок  пересекает окружности в точках  и . Доказать, что .

Может ли для углов треугольника выполняться равенство ?

В треугольнике все стороны меньше 1. Доказать, что его площадь меньше .

Около правильного  описана окружность. Доказать, что для любой точки М этой окружности наибольшая из хорд МА, МВ, МС равна сумме двух других.

Через вершину C параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая, пересекающая продолжение сторон AB и AD в точках K и M соответственно. Доказать, что произведение  не зависит от того, как проведена прямая.

Диагонали трапеции с основаниями AD BC пересекаются в точке O. Доказать, что окружности, описанные около треугольников AOD и BOC, касаются друг друга.

Пусть M и N - середины противоположных сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что середины диагоналей четырехугольников AMND и MBCN являются вершинами параллелограмма.