Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 16

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разделили треугольник на три треугольника и два параллелограмма. Радиусы окружностей, вписанных в образовавшиеся треугольники, равны . Найти радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

В окружность вписан . Расстояния от вершин А и С до касательной к окружности, проведенной в точке В, равны  и . Найти высоту BH в .

В  биссектриса AK перпендикулярна медиане BM, . Найти отношение площади к площади описанного круга.

Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного треугольника совпадает с вершиной этого прямоугольник, а две другие лежат на сторонах, не содержащих этой вершины. Найти сторону правильного треугольника.

(т) В  AC=BC, . Внутри треугольника взята точка M так, что . Найти .

Внутри квадрата ABCD взята точка M так, что . Найти .

В окружность вписана трапеция, у которой отношение оснований равно 2, а высота равна радиусу круга. Найти угол между диагоналями трапеции

В параллелограмме ABCD точка M - середина стороны AB. Известно, что биссектриса угла C параллелограмма делит треугольник AMD на две части равной площади. Найти длину AD, если CD=4.

Окружность радиуса R касается сторон AB и AC  в точках K и M соответственно. Известно, что центр окружности лежит на стороне AC, M- середина стороны BC, длина отрезка BK вдвое больше отрезка AK. Найти площадь .

Около прямоугольного  с катетами AC=5 и BC=12 описана окружность Точки M и N- середины меньших дуг AC и BC этой окружности, K- середина дуги AB, не содержащей точку C. Найти площадь четырехугольника AMNK

Трапеция разделена двумя прямыми параллельными основаниям на три части. Известно, что в каждую из получившихся трапеций можно вписать окружность. Найти радиус окружности, вписанной в среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две оставшихся, равны  и

Две окружности радиусов  и  пересекаются в точке A. Расстояние между центрами этих окружностей равно 3. Через точку A проведена прямая, пересекающая окружности в точках B и C так, что AB=AC. Найти длину отрезка AB.

В  даны стороны AB=4, AC= и BC=5. На стороне AB взята точка D так, что AD=1. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников DBC и ADC.

Дан  со сторонами 5, 2 и , причем AC=. На стороне AC взята точка D так, что BD=3. Найти расстояние от точки D до центра окружности, описанной около .

Правильный  со стороной, равной 3, вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причем хорда AD = Найти длины хорд BD и CD.

Две окружности радиусов 3 и 1 касаются внешним образом. Через центры окружностей проведены параллельные диаметры AB и CD так, что отрезки BC и AD не пересекаются. Найти BC и AD, если известно, что BC:AD=3:4.

В пятиугольнике ABCDE сторона AB параллельна стороне DE, сторона BC параллельна стороне AE, причем AB:DE=8:5, BC:AE=2:3. Найти площадь треугольника ACD, если площадь четырехугольника BCDE=21.

В параллелограмме ABCD , Диагональ AC пересекает высоту BH в точке M, при этом AM:MC=2:3. Найти отношение соседних сторон параллелограмма.

В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. К описанной около треугольника ABC окружности в точке C проведена касательная, которая пересекает прямую AB в точке D. Найдите длину отрезка CD, если известно что AE=a, BE=b.

В окружности диаметр AB и хорда CD пересекаются в точке P. Известно, что AP=7, CP=, угол APC равен . Найдите длину отрезка DP

Около окружности радиуса R описана равнобочная трапеция площади S. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

В треугольнике ABC , . На отрезке AB, как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает стороны AC  и BC в точках D и E. Найдите площадь треугольника ABC, если