Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 14

На плоскости даны точки А и В. Найти геометрическое место точек М этой плоскости, для которых:

а) площадь  имеет заданную величину, б)  имеет заданную величину, в) отношение длин отрезков AM и MB имеет заданную величину, г) разность  имеет заданную величину, д)

е) сумма  имеет заданную величину. ж) в треугольнике ABM медиана к стороне MB рана высоте к стороне AB.

Вопросы (б - е) для точек М пространства.

Дан . Найти геометрическое место точек М плоскости, таких, что а) площади треугольников АМВ и ВМС равны.

б) сумма площади треугольников АМВ и АМС имеет заданную величину.

Дан отрезок АВ и на нем точка С. Найти геометрическое место точек пересечения двух равных окружностей, одна из которых проходит через токи А и С, другая- через точки В и С.

Дана окружность. Найти геометрическое место точек М таких, что: а) М-середина хорды заданной длины. б) М- середина хорды, проведенной через заданную точку окружности.

в) М-середина хорды, проведенной через заданную точку внутри окружности.

г) касательная, проведенная из М, имеет заданную длину.

Концы заданного отрезка движутся по сторонам прямого угла. Найти геометрическое место точек- середин отрезка.

6а) Концы гипотенузы АВ заданного прямоугольного треугольника АВС движутся по сторонам данного прямого угла. Найти геометрическое место точек- вершин С треугольника АВС.

Дан квадрат ABCD Найти геометрическое место точек М плоскости, для которых выполняется равенство .

На плоскости даны две пересекающиеся прямые  и . Найти геометрическое место точек М плоскости таких, что:

а) расстояния от М до  и  равны, б) сумма расстояний от М до  и  равна заданной величине, в) разность расстояний от М до  и  равна заданной величине г) отношение расстояний от М до  и  равно заданной величине

На плоскости дана окружность и точка А. Найти геометрическое место точек М -середин отрезка АВ, если точка В описывает данную окружность.

1 Дана прямая и на ней точки А и В. Найти геометрическое место точек касания двух окружностей, одна из которых касается данной прямой в точке А, а другая- в точке В.

1 На окружности даны две неподвижные точки A и B. Точки C и D перемещаются по окружности так, что расстояние между ними не меняется. Доказать, что точка пересечения прямых AC и BD при этом движется по некоторой окружности, проходящей через A и B.

1 Дан прямоугольник ABCD. Доказать, что для всех точек М плоскости выполняется равенство . Верно ли оно для любых точек M?

1 Доказать, что если внутри окружности радиусом 2 катить без скольжения окружность радиусом 1, то любая точка меньшей окружности будет двигаться по диаметру большей.

1 К данной окружности диаметра AB=2R в точке B проведена касательная. Найти на окружности такую точку N, чтобы отрезок AN был равен расстоянию от точки N до проведенной касательной.

1 Окружность радиуса, равного высоте некоторого равнобедренного треугольника, катится по его основанию. Доказать, что величина дуги, отсекаемой на окружности боковыми сторонами треугольника, остается при этом постоянной.

Экстремальные геометрические задачи.

Внутри выпуклого четырехугольника найти точку так, чтобы сумма расстояний от нее до вершин четырехугольника была минимальной.

Дана прямая и две точки A B по одну сторону от прямой. Найти на данной прямой такую точку M, чтобы сумма MA+MB была минимальной.

Дан острый угол и точка M внутри угла. На сторонах угла найти такие точки A и B, чтобы периметр треугольника AMB был наименьшим.

Дан острый угол и де точки A и B внутри угла. На сторонах угла найти такие точки C и D, чтобы периметр четырехугольника ABDC был наименьшим.

Дана прямая и две точки A B по одну сторону от прямой. Найти на данной прямой такую точку M, чтобы угол AMB был максимальным.

В  нет равных сторон. Найти в треугольнике такую точку M, чтобы сумма расстояний от нее до сторон треугольника была минимальна.