Планиметрия. Начальные теоремы. Площадь. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, страница 2

В треугольнике ABC со сторонами AB=6, BC=10 и AC= отрезок MN с концами на сторонах AB и BC соответственно имеет длину 5 и делит треугольник на две части, причем площадь треугольника BMN относится к площади четырехугольника AMNC как 1:2. Найти периметр четырехугольника AMNC

В прямоугольный треугольник с катетами длиной 3 и 4 вписан квадрат так, что сторона квадрата лежит на гипотенузе, а две вершины - на катетах. Найти площадь квадрата.

В прямоугольный треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN так, что две его вершины M N лежат на гипотенузе AC, а вершины K и L – на катетах BC и AB. Известно, что точка M лежит между точками A и N, AM=4, CN=3 и площадь треугольника ABC равна . Найти площадь прямоугольника KLMN.

В треугольнике ABC  вершина C, середины сторон CA, CB и точка пересечения медиан лежат на одной окружности. Найти длину стороны AB, если CA = b, CB = a

Задача 2.39. Равносторонние треугольники ABC и AMN, имеющие общую вершину  A, расположены так, что стороны AB и AM образуют угол 30⁰. Известно, что площадь пересечения этих треугольников равна , а площадь их объединения равна . Найти площадь каждого из треугольников.

1) Два квадрата ABCD и AMNK, имеющие общую вершину  A, расположены так, что стороны AB и AM образуют угол 45⁰. Известно, что площадь пересечения квадратов равна 17/2, а площадь их объединения равна 69/2. Найти площадь каждого квадрата.

2) В сектор, дуга которого составляет 30⁰, вписан квадрат так, что на дуге сектора лежат две вершины квадрата. Радиус сектора равен 13. Доказать, что площадь квадрата меньше 20.

Ортоцентрический треугольник.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Доказать, что треугольники A₁B₁C, A₁C₁B и C₁B₁A подобны треугольнику ABC.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что радиус описанной около него окружности равен R, а периметр треугольника A₁B₁C₁ равен p.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Доказать, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ являются биссектрисами треугольника A₁B₁C₁.

Дан остроугольный . Найти на его сторонах точки M, N, P так, чтобы периметр треугольника MNP был минимальным.

В остроугольном треугольнике ABC высоты AK CL пересекаются в точке H. Известно, что ,  и . Найти радиус окружности, описанной около треугольника HLK

Подобие.

Из медиан треугольника ABC составлен треугольник DEF. Из его медиан составлен треугольник MNK. Доказать, что треугольники ABC и MNK подобны.

Из высот треугольника ABC составлен треугольник DEF. Из его высот составлен треугольник MNK. Доказать, что треугольники ABC и MNK подобны.

В треугольнике ABC AC=5, AB=4, BC=6, Высоты BH и AK пересекаются в точке O. Найти длину отрезка BO.

В  через точку M, лежащую на стороне BC проведены прямые, параллельные AC и AB. Площадь образовавшегося при этом параллелограмма составляет 5/18 площади . Найти, в каком отношении точка M делит сторону BC.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит его на два треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти два треугольника, равны 1 и 2. Найти радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

Точки M и N выбраны соответственно на основании BC и боковой стороне CD трапеции ABCD Прямые AM и BN пересекаются в точке K так, что AK=3KM, KN=2BK. Найти отношение CN:ND.

В  известны стороны AB=3, BC=5, AC=6. На стороне AB взята точка M так, что BM=2AM. На стороне BC взята точка K так, что 3BK=2KC. Найти длину отрезка MK.

В  известны стороны AB=3, BC=4, AC=2. На прямой AC взята точка D, отличная от C так, что  подобен . Найти длину отрезка BD, а также расстояние от D до середины BC.

В  со сторонами AB=14, AC=15, BC=13 через основание высоты CH проведены прямые, параллельные AC и BC, которые пересекают стороны BC и AC в точках M и N соответственно. Прямая MN пересекает продолжение стороны AB в точке D Найти длину отрезка BD.