4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
4.1. Планирование экстремальных экспериментов
4.1.1 Введение
Методы математического планирования эксперимента (МПЭ) возникли в результате развития математической статистики. Разработка этих методов была вызвана к жизни необходимостью резкого повышения эффективности научных исследований.
До появления МПЭ основным методом проведения эксперимента был так называемый метод «проб и ошибок», который заключался в последовательном переборе режимов работы на различных уровнях исследуемого фактора с закреплением остальных на заданном уровне. После нахождения наилучшего режима исследуемый фактор закрепляется на найденном оптимальном уровне, осуществляется поиск более лучшего режима изменением другого фактора и т.д. Метод «проб и ошибок» требует значительного обьема исследований и времени и не всегда гарантирует успех. Метод «проб и ошибок» в своем классическом варианте мало применим для промышленного эксперимента, поскольку трудно, а иногда невозможно зафиксировать факторы. Поэтому в рамках промышленного эксперимента часто бытует методика так называемого «пассивного эксперимента», когда подбор условий протекания различных режимов осуществляется «пассивным» путем, т.е. в результате наблюдения за ходом текущей эксплуатации обьекта. За достаточно длительный период времени можно подобрать все необходимые режимы протекания процесса.
Альтернативой методике «пассивного» является «активный» эксперимент, когда варьируются одновременно все факторы и на различных уровнях. Методика активного эксперимента является сердцевиной МПЭ.
Математическое планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий постановки опытов, необходимых и достаточных для решения данной задачи с требуемой точностью, методов математической обработки результатов и принятия решений.
МПЭ требует:
- стремиться к минимизации числа опытов;
- одновременно варьировать всеми переменными, определяющими процесс;
- использовать математическую модель, описывающую изучаемый процесс;
- выбирать оптимальную стратегию проведения эксперимента.
4.1.2 Объект исследования, критерий оптимизации и факторы
Задачи оптимизации возникают, когда необходимо найти наилучшие условия протекания процесса. Такие задачи приходится решать в ходе работ по повышению производительности оборудования, снижению затрат на получение продуктов, улучшению качества продукции и т.д.
Будем считать, что объект исследования описывается, с одной стороны, перечнем способов воздействия на него, т.е. факторов xi , а с другой – набором измеренных характеристик. Одна из этих характеристик или какая-нибудь ее функция или комбинация нескольких измеренных характеристик объекта может быть выбрана в качестве критерия оптимизации. Критерий оптимизации часто называют также целевой функцией или откликом (см. р. III).
После выбора критерия оптимизации следует рассмотреть все существенные факторы, влияющие на процесс. Пропуск какого-либо фактора может привести к неправильным выводам. Если этот фактор бесконтрольно меняется во время эксперимента, то существенно увеличится ошибка опыта – критерий оптимизации окажется многозначной функцией остальных факторов. Если же пропущенный фактор поддерживается на некотором постоянном уровне, найденный оптимум может быть ложным, так как нет гарантии, что фиксированный уровень был оптимальным.
У реальных объектов исследования одни факторы, например, температура пульпы, концентрация и дозировка реагентов изменяются в некотором интервале непрерывно, другие же, например, количество стадий перечистки продуктов, могут принимать только ряд фиксированных значений.
Чтобы обеспечить единообразный подход как к непрерывно изменяющимся, так и к дискретным факторам, будем считать, что каждый фактор во время эксперимента принимает лишь некоторое число фиксированных значений, которые называются уровнем фактора.
Если число факторов равно n , число уровней каждого фактора p , то общее число возможных экспериментов с различным сочетанием уровней факторов равно pn.
Допустим имеется десять факторов, каждый из которых может находиться на четырех уровнях, то общее число возможных экспериментов 410 составляет более миллиона.
Математическое планирование дает научную основу для выбора из этой огромной совокупности небольшого числа экспериментов, достаточных для проведения процесса оптимизации.
Различают факторы количественные (температура, время, концентрация, производительность, содержание компонентов и т.д.) и качественные (различные реагенты, различные технологически е режимы, аппаратура, исполнители и др.).
В качестве факторов следует выбирать легко контролируемые и задаваемые величины. Фактором, который сам является функцией других переменных, трудно управлять.
4.1.3 Исследование поверхности отклика и ее линейная модель
В тех методах поиска оптимума, которые мы будем рассматривать, предполагается, что поверхность отклика является непрерывной, гладкой, и имеет не более чем один экстремум. Эти постулаты позволяет аппроксимировать поверхность отклика степенным рядом:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.