Математическое планирование экспериментов. Планирование экстремальных экспериментов. Объект исследования, критерий оптимизации и факторы, страница 11

При реализации параллельных наблюдений в какой-либо одной точке  i  плана оценка воспроизводимости, характеризующая ошибку опыта

S² {Y_i} = [S (Y_ij – Y_i)² ] / (n-1)                         (4.12)

где Y_i - среднее  арифметическое значение параметра оптимизации в i – ой точке плана,                 Y_i = 1/n S Y_ij

n – число параллельных опытов;

n – 1 – число степеней свободы f .

Матрица планирования состоит из серии опытов, дисперсия в каждом из которых вычисляется по формуле (4.12). Дисперсия всего эксперимента называется дисперсией параметра оптимизации или дисперсией воспроизводимости. Она получается в результате усреднения дисперсий всех опытов. Если количество параллельных опытов во всех точках плана одинаково, то дисперсия воспроизводимости равна среднему арифметическому дисперсий, в противном случае пользуются средним взвешенным дисперсий.

4.1.10. Крутое восхождение по поверхности отклика

После получения линейной модели процесса (поверхности отклика) приступают к следующему этапу, - оптимизации результатов. Для этого, выбрав предварительно лучшее решение в области экспериментирования и ограничившись линейным приближением поверхности отклика, - осуществляем движение к области экстремума, т.е. почти стационарной области. Целью является достижение почти стационарной области за минимальное число опытов.

Для достижения почти стационарной области удобно пользоваться методом крутого восхождения по поверхности отклика. В основе его лежит использование метода градиента в сочетании с дробным факторным экспериментом.

Метод крутого восхождения является одним из основных методов последовательной шаговой оптимизации и представляет собой целенаправленное шаговое движение по поверхности отклика.

Поскольку аналитический вид функции отклика обычно заранее неизвестен, поверхность отклика в окрестности некоторой, достаточно удаленной от экстремума точки  x⁰(x⁰₁; x⁰₂; …; x⁰_k) описывается линейной функцией.

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … +  b_kx_k ,                                  (4.13)     где  b₀ – значение функции отклика в точке X₀;

b_i = ¶y/¶x_i – значение производных, вычисленных в точке X₀;

x₁; x₂; x₃ – кодированные значения переменных.

Коэффициенты b₁; b₂ и т.д. – определяют наклон гиперплоскости в направлении соответствующей оси, т.е. скорость изменения параметров в направлении соответствующей оси. Следовательно, совокупность всех коэффициентов определяет направление градиента. Поэтому, направление крутого восхождения полностью определяется коэффициентами уравнения гиперплоскости.

Отсюда следует простое правило : изменение переменных x₁; x₂;…; x_k  пропорциональное b₁; b₂; …; b_k обеспечивает движение вдоль линии крутого восхождения, максимизируя отклик, а изменение переменных пропорционально коэффициентам, взятым с обратными знаками, - минимизирует отклик.

Уравнение (4.13) написано для кодированных переменных, которые связаны с натуральными переменными  x_i соотношением (4.3)

x_i = (x_i - x_io)/I_i .