Математическое планирование экспериментов. Планирование экстремальных экспериментов. Объект исследования, критерий оптимизации и факторы, страница 4

Матрица планирования  ПФЭ 2²                  Табл. 4.2

Каждый столбец в матрице планирования называется вектор-столбцом , каждая строка – вектор-строкой. В матрице планирования эксперимента 2² имеются два вектор столбца независимых переменных, один вектор-столбец критерия оптимизации и четыре вектор-строки условий опытов.

При увеличении числа факторов запись матрицы планирования становится громоздкой. Для ее сокращения введем буквенные обозначения строк. С этой целью порядковые номера факторов ставятся в соответствие с маленькой буквой латинского алфавита: x₁ – a , x₂ – b, и т.д. При задании условий опытов пишутся латинские буквы, соответствующие только тем факторам, которые находятся на верхнем уровне. Опыт, в котором все факторы находятся на нижнем уровне, обозначают (1). Эта запись позволяет однозначно задавать условия опытов. Например, буквенная запись такого вида: c, b, a, abc, (1), bc, ac, ab соответствует следующей матрице ПФЭ 2³ (табл. 4.3).

 Матрица ПФЭ  2³                                                                            Табл. 4.3 

С увеличением  числа факторов возникает необходимость в определенных приемах построения матриц. Наиболее простыми из многих возможных являются три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности.

Во-первых, при добавлении нового фактора (x_n) каждая комбинация уровней исходного плана 2^n-1 встречается дважды: в сочетании с верхним и нижним уровнем нового фактора. В связи с этим, для построения матрицы большей размерности исходный план записывают для одного уровня, а затем повторяют для другого.   

Второй прием основан на поэлементном перемножении вектор-столбцов матрицы. Получают вектор-столбец произведения  x_ix_l   в исходном плане, а затем повторяют еще раз исходный план, а у столбца произведений знаки меняют на обратные.

Третий прием основан на правиле чередования знаков: в первом столбце знаки меняют поочередно, во вторм – чередуют через два, в третьем через четыре, в i-ом – через 2^i-1.

4.1.6. Свойства матриц планирования

Планируемый эксперимент используется для того, чтобы получить модель, удовлетворяющую следующим требованиям:

1.  Точность предсказания критерия оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве (т.к. заранее неизвестно в каком направлении нужно двигаться в поисках оптимума);

2.  Оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими.

Чтобы получить такую модель, матрица планирования должна обладать несколькими общими свойствами, независящими от числа факторов.

Матрицы ПФЭ обладают следующими свойствами:

1) Симметричность относительно центра эксперимента. Это свойство формулируется таким образом: алгебраическая сумма элементов вектор столбцов каждого вектора равна нулю:

S x_ik = 0,                                  (4.4)                      где                                  i – номер фактора,