Структура систем массового обслуживания. Входной поток заявок. Приборы (каналы) обслуживания. Показатели эффективности СМО, страница 18

Структурная схема системы показана на рис. 46.

Рисунок 46

Состояния системы будем связывать с числом отказавших технических устройств:

S_k – отказало ровно k технических устройств (k = 0, 1, ..., п) и все они находятся на обслуживании (ремонтируются);

S_п+r – отказало n + r технических устройств, из них п обслуживаются,    r ожидают в очереди (r = 1, 2, ..., т – п).

Граф состояний системы с указанием интенсивностей потоков, переводящих систему из состояния в состояние, показан на рис. 47.

Рассмотрим стационарный режим работы системы.

Поведение СМО описывается системой алгебраических уравнений

Решение этой системы можно найти по схеме “гибели и размножения”, но “мы пойдем другим путем”.

(Схема “гибели и размножения” будет использована в примере.)

Рисунок 47

введем новые переменные

Произведя замену, получим новую систему уравнений относительно переменных .

Первое уравнение дает

Вторая группа уравнений при подстановке дает

Третья группа уравнений при подстановке дает

Последнее уравнение превращается в

Таким образом, получили новую систему уравнений

Решая эту систему, получаем

Возвращаясь к P_k, получаем

Используя эти выражения, при  находим

  и т.д.

Отсюда получаем

   k = 1, …, n,    

Для  получаем

  и  т.д.

Обобщая, получим

  r = 0, 1, …, m–n.

Это выражение можно записать и так

Параметры системы

§  Величину P₀найдем из нормировочного условия

откуда

P₀ = 1/().

§  Среднее число обслуживаемых технических устройств

§  Среднее число технических устройств, ожидающих в очереди,

.

§  Следовательно, среднее число простаивающих (не работающих) технических устройств будет равно

.

§  Одним из параметров такой системы является вероятность K_г того, что определенное (любое) техническое устройство в любой момент времени t будет работать. Иногда эту величину называют коэффициентом использования техники, но чаще ее называют коэффициентом готовности. Величина K_г подсчитывается по формуле

K_г = 1 – /m.

Чем больше коэффициентK_г, тем более интенсивно работает техника, тем меньше она простаивает.

§  Определенный интерес представляет также коэффициент простоя техники K_п (вероятность того, что техническое устройство будет простаивать)

K_п = /m.

Для K_п  и K_г справедливо K_п + K_г = 1.

§  Среднее время простоя технического устройства  можно найти, исходя из следующих соображений. Вероятность того, что оно будет работать, можно вычислить по формуле

K_г = /(+), где  = 1/– среднее время безотказной работы.

Следовательно,

 = (1 – K_г)/K_г = K_п/K_г.

С другой стороны среднее время простоя является суммой среднего времени нахождения технического устройства в очереди  и среднего времени обслуживания

 = +.

§  Отсюда можно найти среднее время нахождения технического устройства в очереди

=  – = ()K_п/K_г – .

Пример:   Вычислительная система (ВС) состоит из трех ЭВМ.

Если работают 3 машины – производительность  ВС – 100%.

Если работают 2 машины – 50%;

Если работает 1 машина – 0%;

Среднее время безотказной работы ЭВМ   час.

Среднее время ремонта   час.

Количество ремонтных бригад не ограничено.

Найти производительность системы:

Решение:

Производительность системы по определению равна сумме произведений “вероятность состояния на производительность системы в этом состоянии”.

Состояния системы

S₀ –работают три ЭВМ;

S₁ – две ЭВМ работают, одна в ремонте;

S₂ – одна ЭВМ работает, две в ремонте;

S₃ – все три ЭВМ в ремонте.

Граф переходов системы показан на рис.

 Рисунок 48

Интенсивность отказов  .

Интенсивность восстановлений  .

 < 1.

В любой момент времени может произойти только одно событие: или отказ, или восстановление.

Это типичная схема  «гибели и размножения», поэтому

, где     ,

;

;

;

P₀ = ;

P₁ = α₁ P₀ = 3 ρ P₀ ;         P₁ =  = 0,129576;