Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Часть II

Учебное пособие для студентов III-V курсов физико-технического факультета

Новосибирск

1998

С.К. Лекции по квантовой механике. -- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - ___ с.

Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике посвящена изложению основ теории многоэлектронных квантовых систем. Сформулированы общие подходы к динамике квантовых систем и основные приближения теории. Рассмотрены приближенные методы, используемые при расчетах атомов и молекул как в стационарных условиях, так и при наличии зависящего от времени возмущения. С позиций квантовой механики обсуждаются наиболее характерные явления атомно-молекулярной физики.

В заключительной лекции дано изложение элементов квантовой теории электрон-атомных столкновений.

Рецензенты: , д-р физ.-мат.наук, проф.,

Е.А.Титов, д-р физ.-мат.наук, проф.

Работа подготовлена на кафедре лазерных систем

Новосибирский государственный технический университет, 1998 г.

ЛЕКЦИЯ 19

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

Реально существующие микрообъекты (атомы, молекулы), как правило, представляют собой довольно сложные системы взаимодействующих электронов и атомных ядер. С простейшей квантовой системой -- атомом водорода, состоящим из электрона и протона, мы уже имели дело. Однако при рассмотрении атома водорода мы пренебрегли движением протона, воспользовавшись тем, что его масса больше массы электрона. Тем самым проблема атома водорода была сведена к задаче об одном электроне, движущемся в поле кулоновского силового центра. Но уже для атома гелия, следующего в таблице Менделеева за атомом водорода, задача существенно усложняется и приобретает все те принципиальные особенности, которые отличают поведение квантовой системы от поведения одного электрона. Волновая функция системы в общем случае зависит от всех электронных и ядерных координат и спинов. Даже для сравнительно простых атомов и молекул число независимых переменных оказывается столь большим, что о точном решении задачи не может быть и речи. Поэтому при анализе поведения квантовых систем используется, в той или иной форме, метод последовательных приближений, где каждый последующий шаг опирается на результаты предыдущего. Успех при этом в решающей степени зависит от того, насколько правильно сделан выбор начального (нулевого) приближения. Как мы увидим ниже, выбор нулевого приближения для квантовых систем, содержащих несколько электронов, оказался далеко не тривиальной проблемой. Ее решение связано с открытием важнейшего квантовомеханического принципа -- принципа неразличимости тождественных частиц.

1. Основные приближения в теории квантовых систем

Во всех приближенных схемах расчета атомов и молекул всегда используются два заведомо малых параметра: 1) отношение массы электрона к массе ядра (***) и 2) релятивистская малость (*** -- постоянная тонкой структуры).

В нулевом приближении по (**) пренебрегают движением ядер, которые рассматриваются как неподвижные источники кулоновского силового поля, действующего на электроны. Нулевое приближение по (**) соответствует пренебрежению эффектами спин-орбитального взаимодействия и всеми релятивистскими эффектами.

После того как осуществили указанные приближения, уравнение Шредингера для квантовой системы, содержащей * электронов и * ядер, радикально упрощается. Теперь координаты ядер *(**) считаются заданными параметрами. Поэтому в гамильтониане системы отсутствуют произвольные по *, и определению подлежит зависимость волновой функции лишь от электронных координат **(***). Благодаря пренебрежению спин-орбитальным взаимодействием гамильтониан системы не будет содержать спиновых операторов, и уравнение Шредингера приобретает вид:

(19.1)

где (19.2)

*** -- оператор кинетической энергии электронов; (19.3)

*** -- оператор межэлектронного взаимодействия; (19.4)

*** -- оператор электрон-ядерного взаимодействия; (19.5)

** -- порядковый номер ядра в таблице Менделеева.

Поскольку уравнение (19.1) не содержит явной зависимости от электронных спинов, то пространственные и спиновые переменные не перепутываются, и общее выражение для волновой функции должно иметь факторизованный вид:

(19.6)

(Волновая функция, естественно, параметрически зависит от ядерных координат **.)

Спиновая функция *(**) уравнением (19.1) не определяется и пока является произвольной. Этот произвол в значительной степени может быть устранен благодаря особым свойствам симметрии, которым должна обладать любая волновая функция системы одинаковых (тождественных) частиц.

2. Принцип неразличимости тождественных частиц

Как в классической, так и в квантовой механике исходят из предположения, что по свойствам все электроны абсолютно одинаковы. Возникает вопрос: можно ли проследить "поведение" отдельного электрона? Ведь на электроне не поставишь метки, как на бильярдном шаре.