Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике, страница 5

(19.23)

откуда

(19.24).

где ** -- плотность электронного газа в металле.

Граничному импульсу ** отвечает граничная энергия

(19.25)

Таким образом, благодаря принципу Паули свободные электроны в металле даже в невозбужденном состоянии (при температуре, равной нулю) не сваливаются на энергетическое дно, а распределены по области (***). Величина ** носит название энергии Ферми. Соответственно, ** -- импульс Ферми. Эти величины, зависящие от плотности электронного газа, существенным образом определяют электрические и термодинамические свойства металлов и полупроводников при низких температурах.

ЛЕКЦИЯ 20

Обменное взаимодействие

Одним из следствий принципа неразличимости тождественных частиц явилось представление о новом типе взаимодействия между частицами, получившем название обменного взаимодействия и имеющем сугубо квантовое происхождение. Его сущность поясним на примере системы двух взаимодействующих электронов. Рассмотрим эту систему, пренебрегая в ее гамильтониане всеми слагаемыми, содержащими спиновые переменные, т.е. предположим, что справедливы формулы (19.1)--(19.5), взятые для ***:

(20.1)

Вид электронно-ядерного слагаемого *** мы здесь не конкретизируем. Для нас важно лишь то, что в силу тождественности электронов это слагаемое, как и первые два, инвариантно относительно перестановки переменных. Следовательно,

(20.2)

Рассмотрим стационарные состояния, волновые функции которых удовлетворяют уравнению

(20.3)

Благодаря перестановочной симметрии гамильтониана функция *** будет удовлетворять тому же уравнению, что и ***, и описывать состояние с той же энергией **. Если энергетический уровень невырожден, то ** и ** будут относиться к одному и тому же состоянию и поэтому могут отличаться лишь постоянным множителем

(20.4)

Совершая перестановку дважды, находим

(20.5)

Следовательно, волновая функция системы двух электронов должна быть или симметричной относительно перестановки ***

(20.6)

или антисимметричной

(20.7)

В общем случае состояния с разной симметрией будут обладать разной энергией

(20.8)

Вспомним теперь о существовании у электрона спина. Поскольку спиновые операторы в гамильтониан (20.1) не входят, уравнение Шредингера (20.3) не определяет зависимости волновой функции от спиновых переменных, оставляя эту зависимость произвольной. В полую волновую функцию зависимость от спина войдет в виде произвольного множителя:

(20.9)

Согласно принципу неразличимости электронов полная волновая функция должна быть антисимметричной:

(20.10)

Это ее свойство следует согласовать с соотношениями симметрии (20.6), (20.7) для координатного множителя ***. Легко видеть, что возможны только два варианта:

(20.11)

где ** и ** -- соответственно симметричная и антисимметричная спиновые функции

***

Таким образом, мы видим, что симметричной координатной функции должна соответствовать антисимметричная спиновая функция, и наоборот, антисимметричной координатной функции -- симметричная спиновая.

Любая двухэлектронная спиновая функция *** может быть построена из произведений одноэлектронных функций

(20.12)

(Напомним, что ** и **) являются собственными функциями оператора *** и отвечают частице со спином, направленным, соответственно, "вверх" и "вниз". Слова "вверх" и "вниз" даны в кавычках, так как определена лишь проекция спина на ось **, а две других обладают квантовой неопределенностью).

Таких линейно независимых произведений всего четыре:

(20.13)

Из них первое и четвертое представляют собой симметричные функции

(20.14)

а из второго и третьего легко составить симметричную и антисимметричную комбинации

(20.15)

(20.16)

Убедимся теперь в том, что три симметричные функции **, *** являются собственными функциями оператора ***, т.е. оператора суммарного спина ***, спроектированного на ось *. Для этого воспользуемся тем, что ** действует только на функцию от **, а ** -- только на функцию от **. При этом

***

Учитывая все это, находим

(20.17)