(21.23) и еще два соотношения, получаемые из (21.23) циклической перестановкой компонент. Из них следует свойства вектора *, аналогичные перечисленным выше свойствам ** и **:
1. ***
2. ***.
3. При определенном .. проекции ** и ** неопределены.
4. Существуют состояния с одновременно заданными ** и **, т.е. с заданными * и *. Обозначим эти состояния как ***.
Теперь можно сформулировать следующую задачу: как выразить функцию *** через суперпозицию функций ***. Это и даст нам правильное нулевое приближение для системы, обладающей определенным суммарным моментом, при условии, что заданы моменты ее составных частей.
Первый этап в решении этой задачи состоит в том, чтобы определить возможные значения чисел * и *, если известны ** и **.
Сразу же замечаем, что связь * с ** и ** очевидным образом следует из соотношения между операторами: .... Отсюда
(21.24)
Возможные числа * устанавливаются путем следующих рассуждений. (Для определенности будем предполагать ***.)
Прежде всего замечаем, что операторы ** и ** коммутируют не только между собой, о чем выше уже говорилось, но и с суммарным оператором ***. Действительно, если рассмотреть коммутатор ***, то легко видеть, что он равен нулю, так как оператор ** коммутирует с каждым слагаемым оператора **. Это очевидно для первых двух слагаемых, а для последнего слагаемого следует вспомнить, что ** коммутирует с любой проекцией оператора **. В итоге ***. Естественно, что коммутатор *** также равен нулю. Следовательно, что значение ** может быть задано наряду со значениями ** и **. Таким образом, задача об определении возможных значений * по значениям ** и ** не таит в себе противоречия. Из этого следует, что состояние составной системы (1+2) может характеризоваться числами **, **, * и ***. Волновую функцию, соответствующую этим числам, обозначим через ***. Ее представление в виде суперпозиции функций
***
запишем в виде
(21.25)
где *** -- постоянные коэффициенты, о которых речь пойдет ниже.
Определим теперь возможные значения числа *, если заданы ** и **. Максимально возможное значение числа * равно, по его смыслу, максимальному значению *, которое, в свою очередь, равно сумме максимальных значений *** и ***. Таким образом, мы получаем
(21.26)
Определить минимально возможное значение ** несколько сложнее, и строгий вывод здесь весьма громоздок. Поэтому мы воспользуемся наводящими соображениями, основанными на сопоставлении с наглядной векторной диаграммой.
Рассмотрим сложение двух обычных (классических) векторов ** и ** (Пусть для определенности ***.) Абсолютная величина их суммы является максимальной, когда векторы направлены одинаково:
(21.27)
и минимальной, когда их направление противоположно
(21.28)
Сопоставляя (21.27) с квантовой формулой (21.26), мы видим, что классическая формула перейдет в квантовую, если произвести в ней замену
***
Естественно предположить, что и для получения *** необходимо совершить аналогичную замену в классической формуле (21.28):
***
В результате мы получим
(21.29)
Эта формула, справедливая в предположении ***, является совершенно строгой. При произвольном соотношении между величинами ** и ** она приобретает вид:
(21.30)
Убедиться в том, что приведенные выше наводящие соображения дают правильное выражение для ***, можно следующим образом. Сопоставим функции с заданными значениями суммарного момента *** с функциями ***. Эти функции связаны соотношением (21.25), которое устанавливает между ними взаимно однозначное соответствие. Очевидно, что общее число как тех, так и других функций должно быть одинаково. При заданных значениях ** и ** числа ** и ** принимают, соответственно, (***) и (***) значений. Следовательно, число парных произведений *** равно (**) (***).
С другой стороны, при заданном числе * число * принимает (**) значений, поэтому общее число функций *** при заданных * и * равно
***
Используя для вычисления получившейся суммы правило суммирования арифметической прогрессии, находим
***
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.