Чтобы пояснить еще одно важное свойство обменного взаимодействия, рассмотрим систему двух электронов, когда имеются два центра притяжения в точках ** и **, и каждый электрон в основном локализован вблизи одного из этих центров.
Рисунок круги
Примером такой системы может служить молекула водорода.
Как мы видели при обсуждении принципа неразличимости тождественных частиц, если существует пересечение областей локализации, то уже невозможно различать электроны, локализованные на разных ядрах. Это обстоятельство приведет к возникновению обменного взаимодействия. Его величина будет определяться размером области перекрытия (заштрихованная область на рисунке).
Представим теперь себе, что области локализации являются нецентросимметричными. Мы видели, что для атома водорода такие состояния, вытянутые в одном направлении, могут существовать. Это состояние с определенной энергией, но неопределенным орбитальным моментом. Для этих состояний величина области перекрытия будет существенно зависеть от взаимной ориентацией ядер. Это приведет к тому, что обменное взаимодействие также будет сильно зависеть от взаимной ориентации, т.е. оно будет иметь резко выраженный нецентральный характер. Взаимодействия такого типа лежат в основе объяснения химической связи между атомами, образующими молекулы и твердые тела.
ЛЕКЦИЯ 21
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ
1. Момент импульса многоэлектронного атома как интеграл движения
Сферическая симметрия кулоновского поля атомных ядер приводит к тому, что стационарные состояния свободных атомов и ионов, т.е. состояния с определенной, сохраняющейся во времени энергией, могут одновременно обладать определенным суммарным моментом импульса, который, как и энергия, является интегралом движения. При этом следует подчеркнуть, что речь идет именно о суммарном моменте, т.е. о величине
***
поскольку момент импульса отдельного электрона не сохраняется из-за межэлектронного взаимодействия, которое не обладает сферической симметрией.
В квантовой механике физическая величина, сохраняющаяся во времени, представляется оператором, коммутирующим (перестановочным) с гамильтонианом системы. Поэтому прежде всего убедимся, что выполняется соотношение
***
где ** -- нерелятивистский гамильтониан * -- электронного атома или иона
(21.1)
Легко устанавливается перестановочность оператора ** с каждым из слагаемых гамильтониана. Для ** она очевидна, поскольку оператор ** действует только на угловые переменные, от которых ** не зависит. Перестановочность * и * следует из того, что угловая зависимость оператора Лапласа ** пропорциональна квадрату момента импульса **, коммутирующего с любой компонентой **. Остается убедиться в перестановочности * и **.
Для простоты рассмотрим двухэлектронную систему. В этом случае
***
Нужный нам коммутатор
(21.2)
разложим по декартовым компонентам. Имеем
(21.3)
Используя известное коммутационное соотношение
(21.4)
из формулы (21.3) находим
(21.5)
Тот же результат получается для проекций коммутатора (21.2) на оси * и * и, следовательно,
(21.6)
Нетрудно проследить, что принятое выше ограничение двухэлектронным случаем является несущественным, и оператор ** коммутирует с оператором межэлектронного взаимодействия при любом числе электронов. Вследствие этого оператор ** оказывается перестановочным с нерелятистским гамильтонианом многоэлектронного атома или иона, а величина ** является интегралом движения. Это свойство момента импульса существенно упрощает нахождение энергетического спектра и волновых функций стационарных состояний квантовой системы. Упрощение связано прежде всего с тем, что сохранение суммарного момента импульса существенно понижает размерность конфигурационного пространства, для которого приходится решать задачу об энергетическом спектре. Покажем это.
В сферической системе координат волновая функция ** -- электронного атома зависит от * радиальных и ** угловых переменных **, *(**)
*** .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.