Тип симметрии волновых функций существенно отражается на макроскопических свойствах тел, образованных одинаковыми частицами. Когда их число * становится макроскопически большим, сравнимым с числом Авогадро, совершается переход от динамического к статистическому описанию. При этом возникают два существенно различных типа квантовых статистик -- статистика Ферми-Дирака и статистика Бозе-Эйнштейна. Частицы с полуцелым спином описываются статистикой Ферми-Дирака, в связи с чем они получили общее название "фермионы". По аналогии частицы с целым спином называют "бозонами".
3. Волновые функции одноэлектронного приближения. Принцип Паули
Выше уже подчеркивалась важная роль приближенных методов при расчетах квантовых систем. О двух основных приближениях, использующих малость параметров */* и */*, мы уже говорили. Однако и для не очень сложных квантовых систем этих приближений оказывается еще недостаточно, чтобы осуществить расчеты даже при мощной современной компьютерной технике. Поэтому при расчетах атомов и молекул, а также при анализе электронных свойств макроскопических тел обычно используется так называемое одноэлектронное приближение. Сущность его состоит в том, что на первом этапе расчета, в нулевом приближении, пренебрегают межэлектронным взаимодействием, отбрасывая слагаемое ** в гамильтониане (19.2). После этого гамильтония системы электронов приобретает аддитивный характер
(19.11)
где
(19.12)
Суммирование в формуле (19.12) означает, что каждый молекулярный электрон движется в суммарном поле всех ядер, составляющих молекулу. При переходе от молекулы к атому (**) сумма сводится к одному члену, описывающему взаимодействие каждого электрона со сферически симметричным полем атомного ядра.
Найдем стационарные состояния квантовой системы в одноэлектронном приближении. Для этого необходимо решить задачу о нахождении собственных функций и собственных значений оператора ***, т.е. найти решение уравнения
(19.13)
Пусть ** и ** -- собственные значения и собственные функции оператора **, соответственно, определяемые уравнением
(19.14)
Таким образом, ** и ** находятся из решения задачи о состоянии одного, *-го электрона. Будем называть эти величины одноэлектронными волновыми функциями и одноэлектронными энергиями. В частности, в теории сложных многоэлектронных атомов функции ** простым образом выражаются через известные нам решения задачи о состояниях электрона в поле точечного заряда **:
(19.15)
где ** -- произвольный двухкомпонентный спинор.
Для одноэлектронных энергий имеем
(19.16)
(см. формулу (15.16)).
Если пренебречь взаимодействием электронов, т.е. перейти к одноэлектронному приближению, то волновая функция и энергия всей системы легко могут быть выражены через ** и **. Действительно, поскольку гамильтониан (19.11) представляет собой сумму, каждый член которой зависит от координат только одного электрона, уравнение (19.13) допускает разделение переменных. Его решение можно искать в виде произедения функций, каждая из которых зависит от переменных только одной частицы. В качестве таких функций естественно выбрать **. Итак, пусть
(19.17)
Легко убеждаемся, что эта функция удовлетворяет уравнению (19.13) при условии, что
(19.18)
Тем не менее, выражение (19.17) не может рассматриваться как нулевое приближение к истинной волной функции, поскольку оно не является антисимметричным по отношению к перестановкам независимых переменных, т.е. не удовлетворяет принципу неразличимости тождественных частиц. Для электронной системы правильное нулевое приближение, как и точное решение, должно быть антисимметричным.
Процедуру антисимметризации решения поясним на простейшем примере двухэлектронной системы. Пусть ** и ** -- ее одноэлектронные функции. Их антисимметричным произведением, очевидно, будет выражение:
(19.19)
В этой формуле множитель ** обеспечивает нормировку функции *** на единицу
(19.20)
При этом предполагается, что одноэлектронные функции *** являются ортогональными и нормированными на единицу.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.