При этом оператор суммарного орбитального момента **, как и любая функция от него, действует только на угловые переменные. Забегая несколько вперед, заметим, что коммутационные правила для проекций векторного оператора ** совпадают с соответствующими правилами для операторов, относящихся к одному электрону (см. формулы (13.5), (13.6). Из них следует, что оператор квадрата суммарного момента ** перестановочен с оператором любой из проекций. В частности,
(21.7)
Поэтому существует система функций **, являющихся собственными функциями как **, так и **:
***
Функции ** взаимно ортогональны. Будем считать их нормированными на единицу
(21.8)
где *** -- элемент телесного угла в ** -- мерном пространстве.
Собственные числа ** и ** принимают дискретный ряд значений, которые будут определены ниже. ** задает величину суммарного момента, а * -- его ориентацию в пространстве.
Проведем разложение волновой функции системы в ряд по функциям **
(21.9)
и подставим это разложение в уравнение Шредингера для стационарных состояний
(21.10)
После обычных преобразований получим систему уравнений для функций **, зависящих только от радиальных переменных
(21.11)
где
(21.12)
Уравнения (20.11) имеют вид системы зацепляющихся уравнений, число которых, вообще говоря, может быть сколь угодно велико. Но нетрудно показать, что благодаря закону сохранения момента импульса эта система полностью расцепляется, и для каждой функции ** возникает отдельное уравнение. Чтобы это увидеть, воспользуемся перестановочностью операторов *, ** и **, которая и выражает закон сохранения суммарного момента. Имеем
(21.13)
В ** -- представлении, в котором ** и ** диагональны, эти соотношения приобретают вид:
(21.14)
Отсюда следуют два равенства
(21.15)
которые могут быть объединены в одно
(21.16)
где *** -- оператор, действующий в пространстве радиальных переменных *(**). Назовем его "радиальным оператором". Таким образом, операторная матрицы *** оказывается диагональной, что и приводит к расцеплению системы (21.11), которая при этом распадается на независимые уравнения вида:
(21.17)
Из-за сферической симметрии задачи энергетические уровни атома не могут зависеть от ориентации момента, т.е. от числа *. Поэтому оператор ** в действительности зависит только от *, и уравнение (21.17) может быть переписано в виде:
(21.18)
Это уравнение и определяет энергетический спектр атома и его зависимость от суммарного момента импульса электронов.
Проведенный выше анализ относился к суммарному орбитальному моменту атома. Но у атома помимо орбитального момента ** есть и суммарный спиновый момент, оператор которого
***
тоже коммутирует с нерелятивистским гамильтонианом атома и является интегралом движения. Операторы * и * перестановочны, и соответствующие им величины моментов * и *, а также их проекции ** и ** могут быть заданы одновременно. Благодаря этому вся предыдущая цепь рассуждений, приведшая к уравнению (21.18), легко обобщается на случай учета спинового момента и приводит к тому, что "радиальный оператор", собственные значения которого образуют энергетический спектр атома, оказывается зависящим как от *, так и от *. Вместо уравнения (21.18) мы будем иметь
(21.19).
Зависимость энергетического спектра от суммарного спина *, определяемая уравнением (21.19), является следствием обменного взаимодействия, рассмотренного в предыдущей лекции на примере двухэлектронной системы.
если учесть нерелятивистские эффекты, в частности, эффект спин-орбитального взаимодействия, то операторы * и * перестанут коммутировать с гамильтонианом. Тогда величины * и *, отвечающие этим операторам, уже не сохраняются, и закон сохранения выполняется лишь для полного момента ***.
Ниже мы увидим, что оператор ** коммутирует как с **, так и с **. Отсюда следует, что, наряду с **, могут принимать определенные значения также ** и **. В итоге возникает новое обобщение "радиального уравнения", принимающего вид:
(21.20)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.