Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике, страница 14

Это преобразование приводит в (22.32) к заменам

***

В результате получаем

(22.34)

Отсюда

(22.35)

следовательно, четность одноэлектронного состояния с заданными *,

* равна

(22.36)

Это означает, что все состояния с четным * четны, а с нечетным нечетны. Как видим, зависимость четности от числа "*" отсутствует.

Определить четность многоэлектронного состояния столь просто уже невозможно. Здесь полезно использовать "правило сложения четностей", которое справедливо, когда квантовую систему можно представить состоящей из нескольких независимых частей. Так, если система состоит из двух независимых частей с волновыми функциями ** и **, то волновая функция объединенной системы (1+2) будет равна их произведению

(22.37)

Если функции ** и ** обладают одинаковой (разной) четностью, то ** будет четной (нечетной). Таким образом, четность объединенной системы ** связана с четностями ее составляющих ** и ** соотношением

(22.38)

Если между системами 1 и 2 включить слабое взаимодействие, то оно не сможет нарушить соотношения (22.38), так как по своему смыслу четность является величиной, "не способной" к малым изменениям. Так, например, если стационарное состояние многоэлектронного атома сформировано из одноэлектронных состояний с моментами **, а взаимодействие между электронами считается слабым, то четность такого состояния, согласно формулам (22.36)-(22.38), будет выражаться соотношением

(22.39)

Здесь следует подчеркнуть, что в показателе стоит простая сумма одноэлектронных моментов **, которая не всегда будет совпадать с "векторной суммой" *, определяющей суммарный момент электронной оболочки атома.

В качестве примера применения понятия четности, а также закона сохранения четности рассмотрим следующую задачу. Пусть атом находится в четном состоянии с моментом импульса ***. Предположим, что закон сохранения энергии допускает распад атома на свободный электрон и ион в нечетном состоянии с тем же моментом ***. Оказывается, что закон сохранения четности и закон сохранения импульса запрещают такой распад. Действительно, согласно закону сохранения момента импульса, момент свободного электрона должен быть равен нулю, а это означает, что его состояние будет четным (***). Однако в этом случае состояние ион + свободный электрон оказалось бы нечетным, в то время как исходное состояние атома было четным. Следовательно, такой распад атома невозможен.

ЛЕКЦИЯ 23

СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Как уже отмечалось, круг точно решаемых задач в квантовой механике оказывается очень ограниченным. При переходе от одной частицы к квантовым системам вообще трудно указать точно решаемую задачу, если не иметь в виду некоторые модельные системы, само представление о которых основано на тех или иных приближениях. Поэтому при математическом анализе поведения квантовых систем особо важную роль играют различные приближенные методы. Одним из них, и наиболее универсальным, является теория возмущений.

Исходным пунктом теории возмущений является предположение о том, что гамильтониан системы может быть представлен в виде двух слагаемых,

(23.1)

первое из которых, "нулевой" гамильнониан **, допускает точное решение, а второе слагаемое, гамильтониан возмущения **, приводит лишь к малым добавкам к этому решению.

Начнем с наиболее простого варианта теории возмущений. Будем предполагать, что как **, так и ** являются операторами, не зависящими от времени, и найдем приближенные выражения для волновых функций и энергетического спектра стационарных состояний. Для этого необходимо решить уравнение

(23.2)

Конкретный вид операторов ** и **, а следовательно, и конкретный вид квантовой системы, в частности, число ее степеней свободы, нас здесь пока не интересуют.

1. Теория возмущений для невырожденных состояний предположим, что все собственные значений оператора ** не вырождены: каждому энергетическому уровню ** отвечает единственная волновая функция **. Система функций ** предполагается ортонормированной:

(23.3)