Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике, страница 17

имеющую нетривиальное решение. С помощью этих уравнений можно выразить неизвестные величины *** через одну из них, произвольно выбранную. Оставшийся произвол устраняется нормировкой

(23.32)

Такова общая схема нахождения энергетических поправок к вырожденному уровню и определения соответствующих волновых функций. Согласно этой схеме расчета энергетические поправки находятся в первом порядке теории возмущения, а волновые функции -- в нулевом. При рассмотрении конкретных задач мы ограничимся этой степенью приближения.

3. Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле (эффект Штарка)

Предположим, что атом водорода помещен в постоянное электрическое поле с напряженностью **, направленной по оси **. Потенциальную энергию электрона в этом поле

(23.33)

можно рассматривать как возмущение, если напряженность ** много меньше ***. Это условие с большим запасом выполняется в эксперименте.

Рассмотрим первый возбужденный уровень атома  водорода:

(23.34)

Этот уровень обладает четырехкратным вырождением. Соответствующие ему стационарные состояния *** отвечают квантовым числам

***

Вспомним явные выражения для волновых функций (см. лекцию 16), которые необходимы для расчета:

(23.35)

Вычислим элементы матрицы ***, определяющей секулярное уравнение:

(23.36)

Подставляя в (23.36) явные выражения для волновых функций находим, что интегрирование по углам обращает в ноль все матричные элементы, за исключением ***. Для *** получаем

(23.37)

Таким образом, секулярное уравнение (23.29) приобретает вид:

(23.38)

откуда следует

(23.39)

(23.40)

Полученный результат означает, что под действием постоянного электрического поля первый возбужденный уровень атома водорода *** расщепляется на три компоненты:

(23.41)

Мы видим, что вырождение снято не полностью -- центральная энергетическая компонента осталась двукратно вырожденной. Неполное снятие вырождения обусловлено неполным нарушением симметрии задачи, так как электрическое поле нарушает сферическую симметрию, но оставляет ось симметрии, направленную по полю.

Выразим волновые функции расщепленных состояний ** и ** через суперпозиции исходных функций ** и ***:

(23.42)

Согласно (23.28) система уравнений, определяющая **, имеет вид:

(23.43)

Отсюда

***

а следовательно,

(23.44)

Нормируя ** на единицу, получим:

(23.45)

Аналогичный расчет для второго отщепившегося состояния, когда **, дает

(23.46)

Мы уже встречались с состояниями вида ** и **, когда рассматривали нецентросимметричные стационарные состояния атома водорода (лекция

16). Мы видели, что эти состояния обладают постоянным дипольным моментом ***, ориентированными по и против направлений оси **. Отсюда виден физический смысл расщепления энергетических уровней в рассматриваемой задаче. Два энергетических уровня соответствуют двум разным ориентациям электрического дипольного момента относительно направления постоянного электрического поля.

Найденное выше расщепление вырожденного уровня, линейное по электрическому полю, известное как линейный Штарк-эффект, свойственно лишь атому водорода. В сложных атомах такое расщепление носит квадратичный по полю характер. Эта особенность атома водорода связана с характерным для кулоновской задачи *-вырождением, т.е. независимостью энергетических уровней от значения *. Поэтому одному и тому же энергетическому уровню атома водорода принадлежат состояния с различными *, а следовательно, с различными четностями. Для таких состояний матричный элемент дипольного момента не равен нулю, что и приводит к линейному характеру Штарк-эффекта.

В сложных атомах положение энергетического уровня оказывается, как мы увидим, зависящим от *, и дипольный момент имеет ненулевые матричные элементы только между состояниями, относящимися к разным энергетическим уровням. В связи с этим расщепление вырожденного уровня возникает только во втором порядке теории возмущений и оказывается квадратичным по электрическому полю. Этому соответствует так называемый квадратичный Штарк-эффект, который в настоящих лекциях обсуждаться не будет.