Путем несколько громоздких вычислений можно показать, что каждая из этих функций удовлетворяет также уравнению
(20.18)
где ***.
Таким образом, симметричные функции ** и ** представляют собой соответственные функции проекции суммарного оператора ***, отвечающие собственным значениям, соответственно, ... и суммарному спину, равному единице (в единицах **).
Антисимметричная комбинация **(**), как легко показать, удовлетворяет уравнению
(20.19)
т.е. является собственной функцией ** с собственным значением, равным нулю. Несложно убедиться, что эта же функция удовлетворяет также соотношениям
(20.20)
Одновременное удовлетворение соотношениям (20.19) и (20.20) означает, что функция ** отвечает суммарному спину, равному нулю (**). Это единственная возможность, когда все три проекции момента имеют определенное значение. В этом случае все они равны нулю.
Таким образом, мы установили, что симметричные спиновые функции **, **, ** отвечают суммарному спину, равному единице. Их произвольная линейная комбинация ***, т.е. произвольная симметричная функция от * и *, также будет отвечать случаю ***. В отличие от этого, произвольная антисимметричная спиновая функция ***, совпадающая, как можно показать, с *** с точностью до постоянного множителя, соответствует суммарному спину, равному нулю.
Вернемся теперь к двум возможным вариантам двухэлектронной волновой функции ***, задаваемым соотношениями (20.11). Мы теперь видим, что симметрия волновой функции относительно перестановки пространственных координат электронов жестко определяется спиновым состоянием системы, а именно суммарным спином электронов. При суммарном спине, равном единице, зависимость волновой функции от пространственных координат, определяемая уравнением Шредингера (20.3), должна быть антисимметричной:
(20.21)
Согласно соотношениям (20.8), этому состоянию будет отвечать энергия системы, равная **.
При суммарном спине, равном нулю,
(20.22)
Энергия такого состояния равна **. Поскольку в общем случае ***, мы приходим к выводу, что изменение спинового состояния системы электронов связано с изменением ее энергии. Это изменение не вызвано непосредственной зависимостью гамильтониана от спина. Всеми возможными слагаемыми гамильтониана, содержащими спин и описывающими прямое спин-спиновое или спин-орбитальное взаимодействие, мы пренебрегли. Изменение энергии (***) возникло из требования антисимметрии волновой функции относительно обмена электронов местами, что, в свою очередь, явилось следствием принципа неразличимости, электронов. Эта величина, обусловленная изменением спинового состояния системы, носит название обменной энергии. Причину ее возникновения называют обменным взаимодействием.
Из всего сказанного выше видно, что обменное взаимодействие имеет сугубо квантовое происхождение. Его природа связана с особым видом корреляции, определяющей поведение тождественных квантовых частиц. Действительно, мы видели, что при суммарном спине, равном единице, т.е. при "параллельных" спинах обоих электронов, зависимость волновой функции от пространственных координат является антисимметричной:
***
Отсюда следует, что
(20.23)
Таким образом, электроны лишь с малой вероятностью могут оказаться в близких точках пространства. В классической физике это означало бы, что между частицами существуют силы отталкивания. Однако в квантовой задаче дело вовсе не в том, что между электронами существует кулоновское отталкивание. Соотношение (20.23) сохранится и в том случае, если кулоновское отталкивание будет "выключено", что формально и делается при переходе к одноэлектронному приближению (***). К тому же, при "антипараллельных" спинах (***), когда зависимость волновой функции системы от пространственных координат становится симметричной (**) = ***, квантовое "отталкивание" уже не имеет места, поскольку
*** при *** (20.24)
Соотношения (20.23) и (20.24) отражают особый тип корреляции между взаимными положениями электронов, которую обычно называют квантовой корреляцией.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.