Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике, страница 4

Выражение (19.19) можно записать в виде определителя:

(19.21)

Эта запись очевидным образом обобщается на случай системы, содержащей * электронов:

(19.22)

Перестановка любой пары частиц здесь будет соответствовать перестановке двух соответствующих столбцов определителя, что приведет к изменению его знака на противоположный. Тем самым выражение (19.22) отвечает условию антисимметрии относительно перестановки любой пары переменных, а следовательно, принципу неразличимости тождественных частиц. Оно представляет собой правильную волновую функцию многоэлектронной системы, рассматриваемой в одноэлектронном приближении.

Обратим внимание на важное следствие, вытекающее из формулы

(19.2). Если среди символов **...** есть хотя бы два одинаковых, то одинаковыми становятся соответствующие строки определителя, и волновая функция тождественно обращается в ноль. Следовательно, разрешенными, т.е. реализуемыми в природе, оказываются только те состояния системы, для которых все ** являются различными. Таким образом, два (или более) электрона не могут находиться в одном и том же одноэлектронном состоянии ***. В этом состоянии так называемый принцип исключения, или принцип Паули, играет важную роль при анализе квантовых систем, содержащих тождественные частицы.

Рассмотрим два наиболее ярких примера физической реализации принципа Паули.

Первый из них относится к сложным многоэлектронным атомам. В нулевом приближении, отбрасывая межэлектронные и спин-орбитальные взаимодействия, волновую функцию атома можно выразить через известные нам одноэлектронные функции **(**), описывающие стационарные состояния электрона в кулоновском поле ядра. В устойчивом невозбужденном состоянии атома суммарная энергия его электронной системы должна быть минимальной. Принцип Паули указывает, как распределены электроны по энергетическим уровням. На нижний энергетический уровень **, отвечающий состоянию **, сядут два электрона с противоположными проекциями спина. Остальные электроны, в силу принципа Паули, должны располагаться на более высоких уровнях. Так, на уровне **, которому отвечают четыре одноэлектронных состояния **, **, **, **, размещаются 8 электронов (по два электрона с противоположными проекциями спина в каждом состоянии). Следуя принципу Паули, можно указать схему заполнения одноэлектронных состояний для любого атома. Полученное при этом решение правильно отражает периодический характер атомных характеристик, которые, за небольшим исключением, соответствуют периодический таблице Менделеева.

Второй пример использования принципа Паули относится к описанию явлений в макроскопических телах, обладающих электропроводностью (металлы, полупроводники).В веществе, находящемся в конденсированном состоянии, атомы расположены столь тесно, что их внешние электронные оболочки сильно перекрываются. Относящиеся к этим оболочкам электроны коллективизируются, получая возможность свободно перемещаться в пространстве на макроскопические расстояния. Их поведение с хорошей точностью можно описывать в рамках модели свободных невзаимодействующих электронов. Эта модель особенно успешно применяется при объяснении свойств металлов.

Итак, предположим, что существует система ** невзаимодействующих электронов, где ** -- макроскопически большое число (*** ). Их движение ограничивается стенками металла, т.е. они локализованы в макроскопически большой области, с линейными размерами *. Так как каждый электрон до соударения со стенкой движется свободно, его поведение будет почти классическим (квазиклассическим), в той мере, которая допускается соотношением неопределенности. Его импульс определен с погрешностью ***, где * играет роль неопределенности координаты (***). Таким образом, каждый электрон занимает ячейку фазового пространства малого, но конечного размера: ***. Ею и определяется состояние отдельного электрона. Согласно принципу Паули, в одном состоянии, а в данном случае в одной ячейке, могут находиться только два электрона с противоположными проекциями спина. Для размещения ** электронов требуется область фазового пространства величиной ***. Если при этом предполагать, что электронная система находится в невозбужденном состоянии, т.е. потребовать, чтобы суммарная энергия системы была минимальной, то все электроны должны расположиться в импульсном пространстве как можно ближе к точке ***. При этом они займут область **, ограниченную сферой с центром ***. Ее радиус, который мы обозначим через **, определяется соотношением