Вторая часть лекционного курса по нерелятивистской квантовой механике, страница 2

На поставленный вопрос классическая и квантовая механика дают противоположные ответы.

Согласно классической механике отдельно взятый электрон движется в пространстве по вполне определенной траектории, задаваемой начальными условиями. Эта траектория отличается от траекторий всех других частиц и может служить своеобразной "меткой" данного электрона.

В квантовой механике картина существенно иная. Как мы знаем, понятие траектории здесь теряет смысл, и можно говорить лишь о вероятности нахождения электрона в той или иной области пространства.

Рассмотрим с квантовой точки зрения процесс рассеяния двух электронов друг на друге. Пусть в некоторый начальный момент ** один из электронов локализован в области *, а другой в области *, и пусть эти области не перекрываются

Рисунок

В этот момент один электрон отличается от другого областью локализации. Можно сказать, что имеются *- электрон и *- электрон. Однако с течением времени области локализации электронов сближаются и к моменту ** начинают перекрываться, образуя область *. Если в этот момент провести опыт по обнаружению электрона, то сказать, какой из электронов обнаружен, будет в принципе невозможно. Также невозможно предсказать, какой из электронов окажется в асимптотической области ** или **. Электроны стали полностью неразличимы. Для того чтобы квантовая механика была логически непротиворечивой, ее математический аппарат должен автоматически учитывать эту принципиальную неразличимость тождественных частиц.

Математическая формулировка полной неразличимости одинаковых частиц состоит в следующем.

Пусть *(***) волновая функция ** -- электронной системы. Для упрощения записи будем в дальнейшем объединять пространственные и спиновые переменные в один символ ***. Тогда

(19.7)

Предположим, эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера (19.1). В этом уравнении оператор Гамильтона **, как видно из формул (19.2)--(19.5), инвариантен относительно произвольной перестановки переменных, что является следствием тождественности электронов. если совершить в уравнении (19.1) обмен местами любой пары переменных, например, *-й и *-й, то благодаря инвариантности гамильтониана функция *(***) и функция *(***) будут удовлетворять одному и тому же уравнению (19.1). Это значит, что и любая их суперпозиция будет удовлетворять этому уравнению, поскольку оно линейно и однородно. Оказывается, что такая суперпозиция должна быть выбрана вполне определенным образом, и этот выбор диктуется принципом неразличимости одинаковых частиц.

Согласно принципу неразличимости тождественных частиц перестановка одинаковых частиц (а этому и отвечает перестановка аргументов *-функции) не должна изменять квантовомеханического состояния системы. Следовательно, функции *(***) и *(***) должны описывать одно и то же состояние, и поэтому они могут отличаться только постоянным множителем:

(19.8)

Совершая повторную перестановку, мы получим

(19.9)

Отсюда следует, что **, **, и соотношение (19.8) приобретает вид:

(19.10)

Поскольку все частицы одинаковы, то свойством (19.10) должна обладать перестановка любой пары частиц. Таким образом, волновая функция системы одинаковых частиц должна быть либо симметричной, т.е. совершенно не изменяться при любой перестановке переменных, либо антисимметричной, когда она при любой парной перестановке меняет знак. При этом очевидно, что для одной и той же системе частиц волновые функции любых состояний должны иметь одинаковую симметрию. Действительно, если какие-то два состояния будут обладать разной симметрией, то их суперпозиция окажется ни симметричной, ни антисимметричной. Эволюция волновой функции во времени, определяемая уравнением Шредингера, также не меняет ее симметрии, которая всегда совпадает с симметрией начального состояния.

Из релятивистской квантовой механики следует, что свойство системы описываться симметричными или антисимметричными волновыми функциями определяется спином частиц. Так, любая система частиц с полуцелым спином (например, электроны) описывается антисимметричными волновыми функциями. Частицам с целым или равным нулю спином (например, *-- мезонам или фотонам) отвечают симметричные волновые функции.