Обратим внимание на то, что в написанном уравнении волновая функция уже не имеет индексов ** и **, поскольку векторы ** и * теперь определены только по модулю, и их проекции *** и *** не имеют определенных значений.
Из уравнения (21.20) следует, что при заданных * и * энергетические уровни атома становятся зависящими от *: происходит расщепление терма **. В силу малости спин-орбитального взаимодействия это расщепление, как правило, невелико (***) и образует так называемую тонкую структуру энергетического уровня. В соответствии с ней возникает тонкая структура спектральных линий атома.
Реальное осуществление изложенной выше программы требует знания собственных чисел и собственных функций операторов суммарного момента **, **, **, **, а также полного момента **, **, которые как мы увидим, могут быть выражены через аналогичные величины, относящиеся или к отдельным электронам, или к некоторым группам электронов, на которые удобно разбить электронную оболочку атома. Возникающие здесь вопросы составляют содержание общей проблемы, получившей в квантовой механике название проблемы сложения моментов.
2. Сложение моментов при образовании сложных квантовых систем
Пусть имеются две невзаимодействующие квантовые системы 1 и 2, обладающие моментами ** и **. В частности, эти системы могут относиться к одному и тому же материальному носителю. Так, например, электронная оболочка атома в нерелятивистском приближении "распадается" на невзаимодействующие спиновую и орбитальную подсистемы с моментом ** и **. Нас пока не будет интересовать конкретный вид квантовых систем. Единственное предположение о них будет состоять в том, что соответствующие им векторные операторы момента ** и ** действуют только на переменные своей системы и подчиняются обычным коммутационным соотношениям:
(21.21)
Остальные коммутаторы получаются из (21.21) путем циклической перестановки компонент. Между собой операторы ** и ** являются перестановочными, поскольку действуют они в различных пространствах.
Согласно квантовой теории момента количества движения, из правил коммутации (21.21) вытекает, что векторы ** и ** обладают следующими свойствами:
1. Их абсолютные величины квантуются по правилам
***
где ** и ** -- целые или полуцелые числа. (Предлагается возможность полуцелых чисел, мы включаем в рассмотрение и спин электрона.)
2. Их проекции на ось ** квантуются по правилам
***
где ** и ** лежат в интервалах ***, *** и образуют множества (**) и (**) чисел, отличающихся друг от друга на единицу
***
3. При заданной проекции векторов ** и ** на ось * их проекции на оси * и * обладают квантовой неопределенностью.
4. Оператор ** и ** (***) взаимно коммутируют, из чего следует, что существуют состояния, в которых одновременно определены проекции **, равные **, и квадраты ***. Такие состояния систем 1 и 2 будем обозначать, соответственно, ** и **.
Предположим теперь, что между системами включено слабое взаимодействие, которое объединяет их в единую систему (1+2). В нулевом приближении по взаимодействию общая волновая функция системы (1+2) должна представлять собой суперпозицию произведений вида:
(21.22)
Эту суперпозицию нужно составить так, чтобы она отвечала сохранению суммарного момента системы (1+2). Действительно, после включения взаимодействия между системами моменты * и * каждый в отдельности уже не сохраняются. Однако в силу изотропии пространства сохраняется их суммарный момент. Поэтому правильным решением нулевого приближения будет суперпозиция функций (21.22), являющаяся собственной функцией оператора суммарного момента ***. Говоря более определенно, она должна быть общей собственной функцией операторов *** и ***.
Свойства суммарных операторов совершенно аналогичны соответствующим свойствам операторов ** и **. Это следует из того, что правила коммутации для **, ** и ** остаются теми же, что и правила (21.21), в чем легко убедиться, если воспользоваться перестановочностью операторов * и *. Таким образом, мы имеем соотношение
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.