Таким образом, мы вновь приходим к уже полученному выше результату, что может служить подтверждением правильности установленного значения для ***.
ЛЕКЦИЯ 22
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ (продолжение)
1. Нахождение коэффициентов Клебша-Гордана
Проблема сложения моментов, как уже говорилось, не сводится к нахождению возможных суммарных величин * и *. Ее полное решение состоит в определении явного вида суперпозиции (21.25), для чего требуется найти коэффициенты ***. Эти величины носят название коэффициентов Клебша-Гордана. Для общего случая нахождение их требует весьма сложных вычислений, выходящих за рамки нашего курса. Существуют обширные таблицы этих коэффициентов, и при необходимости ими можно воспользоваться. Здесь же мы ограничимся общей формулировкой одного из подходов к вычислению этих коэффициентов и некоторыми простыми примерами.
Метод вычисления коэффициентов Клебша-Гордона, о котором пойдет речь, носит название метода "последовательного понижения". Он основан на использовании свойства оператора ***, при действии которого на волновую функцию с заданными * и *, т.е. на функцию ***, происходит ее превращение в волновую функцию с "пониженным" на единицу значением проекции момента. Это свойство выражается соотношением
(22.1)
где ** -- константа, зависящая от * и *.
Ранее мы уже видели, что аналогичное свойство оператора **, относящегося к отдельному электрону, может быть использовано для построения системы сферических гармоник *** (см. формулы (13.40)-(13.43)). Здесь мы убедимся, что это же свойство оператора ** играет важную роль в проблеме сложения моментов.
Прежде всего определим значение константы **, которым раньше мы не интересовались. Для этого воспользуемся операторным соотношением
(22.2)
являющимся аналогом формулы (13.12).
Действуя операторами, стоящими в (22.2) слева и справа, на функцию ** и учитывая, что
***
получаем
(22.3)
Умножая полученное равенство на ** и проводя интегрирование по всей области определения функций, находим
(22.4)
В этом соотношении интеграл, стоящий слева, есть не что иное, как квадрат нормы функции ***. Действительно, поскольку ***, мы имеем
(22.5)
Таким образом, равенство (22.4) может быть переписано в виде:
(22.6)
С другой стороны, согласно (22.1)
(22.7)
Отсюда с точностью до фазового множителя, который может быть включен в определение функции **, получаем
(22.9)
после чего соотношение (22.1) приобретает вид:
(22.10)
Возвратимая теперь к разложению (21.25) и займемся вычислением коэффициентов Клебша-Гордона. Запишем формулу (21.25) для значений **, **. В этом случае для величин ** и ** имеется только одна возможность **, **, и сумма вырождается в единственное слагаемое
(22.11)
Соответствующий этому случаю единственный коэффициент Клебша-Гордона равен единице, поскольку все функции слева и справа нормированы на единицу.
Подействуем теперь на функцию (22.11) оператором ***. С учетом соотношения (22.10) находим:
(22.12)
Отсюда
(22.13)
и мы получаем следующие коэффициенты Клебша-Гордона
(22.14)
Еще два коэффициента легко найти, замечая, что для объединенной системы (1+2) функция *** выражается через те же функции ** и **, что и функция (22.13), но является к ней ортогональной. Из этого следует
(22.15)
(22.16)
Далее совершается следующий шаг: к соотношениям (22.13) и (22.15) вновь применяется "понижающий" оператор ***, что приводит к функциям *** и ***, состоящим уже из четырех слагаемых, и эта процедура, вместе с использованием условия ортогональности функций, совершается нужное число раз. Естественно, что при больших значениях ** и ** расчеты становятся чрезвычайно громоздкими, поэтому разработаны идейно более сложные, но более эффективные методы, которые приводят к замкнутым выражениям для коэффициентов Клебша-Гордана. Здесь мы их касаться не будем. Ограничимся рассмотрением простейших примеров.
1. Сложение двух спинов ***.
В этом случае суммарный спин и его проекции принимают значения
***
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.