Планирование экстремальных экспериментов при оптимизации технологических процессов РЕА, страница 3

В [11] рассматривается методика оптимизации задач построения технологических процессов методом последовательного исследования множсв. Этот метод обеспечивает  возможность строго обоснованным путем осуществить поиск оптимального решения достаточно широкого технологических задач как при проектировании новых, так и сследовании действующих технологических процессов.

1.3  Экстремум функции

В [11] рассмотрена связь между задачей оптимального управления дискретными объектами и задачей об экстремуме функции, т.е . максимуме или минимуме функции. Если взять функцию f, заданную на множестве М и принимающую действительные значения, то это означает, что каждой точке аМ сопоставлено некоторое число f(а), называемое  з н а ч е н и е м  функции fв точке  а. Точка   х М называется точкой минимума  функции  f,  если для каждой точки множества справедливо неравенство  f(х)f(х).  Если  х - точка минимума функции  f, то соответствующее значение f (х) называется   н а и м е н ь ш и м  значением или также минимум функции. Для записи наименьшего значения функции f пользуются обозначениями:

min f(x),

                                                            xМ.                                                         (1.7)

Этот символ определяется следующими двумя условиями [11]:

1. f(x) minf(x) для любого xМ;

xМ. 

2. Существует такая точка  х М,  что

f(х)= minf(x)

xМ.

Аналогично определяется максимум функции.

Математическая теория оптимального управления дискретными объектами всецело связана с рассмотрением специального класса задач на экстремум функций. В [11] показывается, что задача оптимального управления дискретными объектами (процессами) эквивалентна задаче об экстремуме функции, определеной на некотором подмножестве евклидова пространства и показано, как это достигается. Однако задача оптимизации дискретных процессов имеет и свои особенности, что порождает самостоятельное направление в математике – математическое программирования [11].

1.4  Математическое программирование  технологических процессов

          Построение и исследование математической модели такого сложного комплекса, каким является технологический процесс изготовления радиоаппарата, до настоящего времени в полной мере не осуществлено [10]. Математическая модель такого процесса, как правило, сводится к системе алгебраических или дифференциальных уравнений, исследование которой с целью получения оптимальных значений параметров процесса классическими методами математического анализа встречает большие, а порой непреодолимые трудности. Это обусловлено большим числом воздействующих на процесс факторов и ограничений.

          Метод математического программирования открывает широкие возможности для оптимизации технологических процессов.

Математическое программирование предусматривает методы решения типичных задач четырех классов [12 ]: задачи замкнутого маршрута; задачи на распределение; задачи на составление смесей; задачи динамического программирования. Несмотря на различия в их содержании и в областях применения, математическая формулировка этих задач является сходной и предполагается, что существуют общие методы решения задач программирования. Различают два случая [12 ]: первый случай, когда решение может быть найдено с помощью дифференциального исчисления, ибо оно основано на сопоставлении предельных приращений функций; второй случай, когда этот классический метод не может быть использован, в частности в линейном программировании.

          Линейное программирование, которое характеризуется тем, что в его задачах как целевая функция, так и балансовые условия являются линейными функциями переменных  х, х, …, х.

          Задачу линейного программирования формулируют так: требуется найти такие переменные х, х, …, х, чтобы целевая функция

                        Z=   P X = max,  причем должны выполняться балансовые условия

        bC,  где    r = 1, 2, …, m,  и граничные условия  х0, где  i= 1,2,…,n.