Планирование экстремальных экспериментов при оптимизации технологических процессов РЕА, страница 13

.

Коэффициенты «b» в этом уравнении определяются так же, как при ПФЭ. Однако, в отличие от ПФЭ, с их помощью нельзя раздельно оценить коэффициенты регресс, так как столбцы факторов и взаимодействий в расширенной матрице оказываются неразличимыми. В самом деле, столбец х1 совпадает со столбцом х2х3, столбец х2 – со столбцом х1х3, а столбец х3 – со столбцом х1х2. Это означает, например, что коэффициент b оценивает совместное влияние на параметр оптимизации фактора х1 и взаимодействия х2х3. Символически это  записывается так:

.

          При постулировании линейной модели факт смещения оценок не играет роли, так как взаимодействия полагаются незначимыми. Разумеется, мы можем ошибиться в своем предположении, и тогда построенная линейная модель окажется неадекватной.

          Итак, чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значения нового фактора в условиях опытов определяются знаками этого столбца.

          В приведенном примере для построения линейной модели с тремя факторами было поставлено четыре опыта, т.е. реализована половина ПФЭ 2 или полуреплика. Очевидно, что новыми факторами можно заменять не одно, а сразу несколько взаимодействий. Дробные реплики, при построении которых «Р» факторов были приравнены к эффектам взаимодействия, обозначаются 2. Так, в предыдущем примере имеем  полуреплику 2.

Обозначение 2 соответствует четверть - реплике  от ПФЭ 2. При ее построении два новых фактора приравниваются к эффектам взаимодействия в плане ПФЭ 2=2.

          При фиксированных к и р построение дробной реплики неоднозначно, так как новые факторы могут быть приравнены разным взаимодействиям. Например, четверть – реплику 2 можно получить, приравняв новые факторы х4 и х5 следующим взаимодействиям:

1) х4=х1х2,     х5=х1х2х3;

2) х4=х1х3,     х5=х2х3;

3) х4=х1х2х3, х5=х1х3 и т.д.

Записанные соотношения называются генерирующими. Они показывают, какие именно взаимодействия были заменены новыми факторами.

          Выбором генерирующих соотношений при построении дробных реплик задается система смешивания оценок коэффициентов регрессии. Ее удобно определять с помощью определяющего контраста, который получается умножением обеих частей генерирующего соотношения на новый фактор. Например, для полуреплики 2  с генерирующим соотношением х4=х1х2х3 определяющий контраст будет иметь  вид 1=х1х2х3х4 , поскольку полагается х=1 и, вообще, х=1.

          Умножением каждого фактора на обе части определяющего контраста получают соотношения, задающие систему смешивания оценок для данной дробной реплики. Так, для полуреплики 2 с определяющим контрастом 1=х1х2х3х4  получим х1=х2х3х4  , х2=х1х3х4 ,  х3=х1х2х4 ,  х4=х1х2х3. Это означает, что коэффициенты линейного полинома будут оценками

;    ;   ;    .

          Применение указанной процедуры для полуреплики 2 дает систему смешивания, записанную для этой реплики ранее.

          Четверть – реплики задаются двумя генерирующими соотношениями. Пусть, например, реплика  2 задана так: х4=х1х3  и  х5=х1х2х3. Тогда определяющими контрастами являются: 1=х1х3х4           = х2х4х5      = х1х2х3х5. Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста на каждый из факторов:

х1=х3х4=х1х2х4х5=х2х3х5,

х2 =х1х2х3 х2=х4х5=х1х3х5,

х3=х1х4=х2х3х4х5=х1х2х5,

х4=х1х3=х2х5=х1х2х3х4х5,

х5=х1х3х4х5=х2х4=х1х2х3.

Это означает, что   коэффициенты линейного полинома будут оценками:

;

;

;

;

.

          Определяющий контраст позволяет находить систему смешивания оценок и для реплик большой дробности, т.е. 1/8 – реплик; 1/16 – реплик и т.д.

          Дробные реплики следует выбирать так, чтобы линейные эффекты (факторы) оказывались смешанными с взаимодействиями, которые по предварительным  данным являются незначительными.

          2.4.1.4 Проведение эксперимента