Радиофизические методы дистанционного зондирования земли, страница 9

.

Соответствующий этому тензору антисимметричный тензор A_μν, найденный по правилу II, запишется следующим образом:

.

Видно, что в скобкахA_μν стоят компоненты векторов магнитного и электрического полей (см. соотношение 1.3.2):

 и т.д., а

 и т.д.

Окончательно, антисимметричный тензор второго ранга A_μν включает в себя все проекции векторов электрического и магнитного поля в качестве компонент. Поэтому он называется тензором электромагнитного поля:

.                                          (1.3.3)

Из записи тензора видно, что его компонентами являются проекции векторов, обозначаемых с помощью одного индекса проекции. Поэтому векторные величины также называют тензорами, но тензорами первого ранга. Следуя этой логике, скалярные величины называют тензорами нулевого ранга.

Возвращаясь к явлению теплопроводности, с которого начато знакомство с тензорами, запишем тензор теплопроводности в общем виде:

. Эксперимент показывает, что теплопроводность характеризуется одинаковыми параметрами: скорости процесса в прямом и обратном направлении по величине совпадают. Наблюдается центральная симметрия. Следовательно, Т_μν должен быть симметричным тензором, у которого α_ij = α_ij. Для симметричного тензора второго ранга возможно не только аналитическое, но и наглядное геометрическое представление в виде поверхности второго порядка. Действительно, с помощью компонент тензора можно записать выражение:

α₁₁x² + α₂₂y² + α₃₃z²+ 2α₁₂xy +2α₁₃xz +2α₂₃yz =1.

При положительных коэффициентах это уравнение в трехмерной ортогональной системе координат характеризует эллипсоид (рис. 2’).

 

Рис.2’. Характеристическая поверхность симметричного тензора

второго ранга

Полученная геометрическая фигура имеет и свою собственную ортогональную систему координат (x’,y’,z’), оси которой являются продолжениями главных полуосей эллипсоида. В новой системе координат аналитическая запись поверхности эллипсоида упростится:

    α’₁₁(x’)² + α’₂₂(y’)² + α’₃₃(z’)² = 1.

       

Соответственно, проще будет запись тензора теплопроводности:

.

Очевидно, что в сечении эллипсоида оказывается эллипс, а это как раз та форма, которая характеризует эксперимент (рис. 2) по теплопроводности в анизотропной среде. Таким образом, применяемый математический аппарат адекватно отражает рассматриваемое явление.

§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

Как было выяснено в §2, векторная модель электромагнтного поля позволяет дать описание основных экспериментальных фактов, связанных с объединением электрических и магнитных явлений в единую теорию (теорию Максвелла). Основные положения теории укладываются в систему дифференциальных уравнений Максвелла – Герца.

1. Вихревое магнитное поле в каждой точке пространства определяется токами проводимости и смещения (меняющимся во времени вектором индукции электрического поля) в этой же точке:

  .

2. Вихревое электрическое поле в каждой точке пространства определяется меняющимся во времени вектором индукции магнитного поля в этой же точке:

.

3. Источником расходимости электрического поля в каждой точке пространства является наличие в ней источника (заряда) с плотностью ρ :

.

4. Ни в одной точке пространства магнитное поле не имеет источников расходимости:

.

Часто используются в расчетах дополнительные соотношения, связывающие между собой отдельные параметры поля:

(а). Материальные соотношения: ;

(б). Закон Ома и уравнение непрерывности линий тока в проводнике:

.

В однородной среде величины электрической и магнитной проницаемости, а также удельная проводимость постоянны (ε = const, μ = const, σ = const), поэтому учитывая материальные соотношения, уравнения Максвелла принимают вид:

1. , 2. , 3. , 4. .  (1.4.1)

Применение к полученной системе уравнений одной из дифференциальных операций второго порядка (двойной операции ротора), позволяет разделить переменные и , затем приводит к двум независимым уравнениям, определяющим поведение электрического и магнитного полей в пространстве и времени: