Радиофизические методы дистанционного зондирования земли, страница 7

С другой стороны силовая характеристика поля – его напряженность характеризуются в геометрической модели поля густотой силовых линий в окрестности выбранной точки. Поэтому напряженность можно измерять количеством силовых линий, пересекающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям. Тогда величина напряженности, как и дивергенция, определяется плотностью (поверхностной плотностью) числа силовых линий. Следует записать  или, учитывая направление вектора напряженности относительно нормали к площадке, проходящей через выбранную точку, Если сложить все элементарные потоки через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем V, то получаем интегральную теорему Гаусса – Остроградского :

.

Опыты Эрстеда показали, что магнитное поле с индукцией в каждой точке пространства согласовано с направлением электрического тока таким образом, что силовые линии вектора замкнуты, образуя циркуляцию вокруг тока. Если на поверхности S выбрать произвольный контур L, охватывающий токи, которые пересекают эту поверхность, то сумма элементов циркуляции  по контуру L образует интегральную циркуляцию  . С другой стороны, рассматривая циркуляцию по контуру L как сумму циркуляций ΔГ по малым контурам ΔL , образующим разбиение поверхности S  на отдельные площадки ΔS , можно ввести отношение  ΔГ/ΔSдля характеристики вихревого магнитного поля в каждой точке. Для этого перейдем к поверхностной плотности циркуляции, то есть к производной в выбранной точке и снабдим площадку dS направлением нормали, согласованной с правилами обхода контура ΔL. Полученная в результате величина элементарного вихря, называется ротором: Поток ротора по поверхности S, ограниченной контуром L, определит полную циркуляцию Г по этому контуру:  . Полученное интегральное равенство называется формулой Стокса. Учитывая, наконец, что поток ротора определяется потоком вектора плотности тока, можно подобрать такую систему единиц (СИ), в которой эти величины совпадут. В этом случае имеем

Первое равенство входит в систему дифференциальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, а второе известно как закон полного тока. Рассмотренные выше понятия математической теории поля достаточны для формирования векторной модели электромагнитного поля, основанной на его описании с помощью векторов индукции магнитного поля и напряженности электрического поля . Эта модель, как наиболее распространенная в решении проблем зондирования, будет использована нами на протяжении всего излагаемого материала.  Тем не менее, существует альтернативное описание электромагнитного поля с помощью потенциалов – скалярного φ и векторного , из которых складывается современная тензорная модель на базе четырехмерного векторного потенциала , где цифра 4 в записи потенциала обозначает величину, представленную в четырехмерном пространстве событий. Именно в такой форме электромагнитное поле удалось включить в единую теорию взаимодействий (ТВО), как разновидность калибровочного поля. Поэтому кратко рассмотрим эту модель в следующем параграфе, что позволит понять сложность электромагнитного поля как физического объекта.

§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕНЗОРНОЙ МОДЕЛИ.

Вначале, на примере явления поляризации диэлектриков рассмотрим условия, связанные с проявлением анизотропии, при которой возникает необходимость тензорного описания явлений.

Знакомство с анизотропией начинается еще в средней школе, при изучении кристаллических веществ с помощью простого опыта по распространению поля температур от источника в изотропной среде (стекле) и в анизотропной (кристаллической пластинке). В качестве источника высокой температуры в эксперименте можно использовать нагретую иглу, а для фиксации процесса теплопроводности на поверхность стекла и кристалла наносится парафин. Результат опыта изображен на рис. 2(а, б), из которого понятно, что скорости процессов в первом (а) случае одинаковы по всем направлениям, а во втором – различны.На рисунке отмечены границы расплавленного парафина в одинаковые моменты времени на стекле (а) и кристаллической пластинке (б).