;
.
(1.4.2)
Решением этих уравнений, соответственно, являются функции вида
,
, (1.4.3)
которые
по формуле Эйлера () легко разложить на
действительную и мнимую часть, каждая из которых представляет собой
периодическую функцию, являющуюся частным решением уравнения (1.4.2), что легко
проверить прямой подстановкой. Если, в частном случае действительной компоненты
, зафиксировать координату z (z =
0), то функция будет описывать колебания вектора напряженности в начале
координат с периодом Т и частотой ω. Действительно, при t0 = 0 Δt
= T и по определению периода ωT = 2π , то
. Рассуждая аналогично, при фиксированном
моменте времени (при «фотографировании» процесса), получим в пространстве
периодическое распределение вектора напряженности. Величина
называется в данном случае волновым числом, а в общем
случае одной из проекций волнового вектора
.
Так как процесс колебаний физической величины периодически распределенный в пространстве является определением волнового процесса, то полученные решения (1.4.3) исходного дифференциального уравнения имеют право называться волновыми функциями, а само уравнение (1.4.2) – волновым уравнением. Таким образом, электромагнитное поле в вакууме существует в виде электромагнитной волны.
Установим соотношения между векторами в пространстве. Воспользуемся для этого
третьим уравнением Максвелла (1.4.1), а также записью вектора напряженности
через его проекции.
(1.4.4)
Решая
совместно систему уравнений (1.4.4), то есть после взятия производных, имеем: . Скалярное произведение векторов равно
нулю, если векторы перпендикулярны. Таким же образом, получаем, что
. Следовательно,
,
а это означает, что вектора напряженности находятся в плоскости,
перпендикулярной волновому вектору. Направим волновой вектор в декартовой
системе координат по оси Оz, а для вектора напряженности выберем направление по
оси Oy. Тогда
. О векторе
напряженности магнитного поля пока можно сказать определенно только то, что его
проекция Hz=
0. Использование второго уравнения Максвелла (1.4.1) с одной стороны приводит к
равенству
, а с другой стороны, имеем:
. Левые части полученных уравнений
одинаковы, следовательно равны и правые. Равенство векторов, в свою очередь,
требует, чтобы были одинаковыми проекции при единичных векторах. Отсюда
следует:
. (1.4.5)
Очевидно,
что только одна проекция Hx меняющегося магнитного поля сохраняется при
фиксированных векторах и
, то
есть можно записать
.Таким образом, все три вектора
взаимно перпендикулярны.
§ 5. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Симметрия электрического и магнитного полей в системе уравнений Максвелла для однородной среды (1.4.1) позволяет без расчета записать соотношение между фиксированным по оси Ox магнитным полем и получающимся в результате расчета электрическим полем, используя второе уравнение системы (1.4.1). В этом случае получим выражение
.
(1.5.1)
Подставляя в равенства (1.4.5) и (1.5.1) выражения для
проекций векторов напряженности , получаем:
.
(1.5.2)
Отношение .
(1.5.3)
Для вакуума (μ =1, ε =1) скорость распространения волны обозначается с, поэтому . Отношение скорости
распространения волны в вакууме к скорости ее распространения в среде носит
название абсолютного показателя преломления среды и легко заметить, что он
зависит от свойств среды (от ε и μ) :
. Для среды, не
являющейся магнетиком (μ = 1) имеем:
и
зависимость волнового числа от диэлектрических свойств среды запишется следующим
образом:
.
(1.5.4)
Равенство (1.5.4) называют дисперсионным соотношением.
Для проводящей среды, содержащей свободные заряды и токи проводимости, первое уравнение Максвелла с учетом закона Ома и волновой функции вектора напряженности электрического поля (1.4.3) примет следующий вид:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.