если п > N, k - любое целое число, х - любое число (из ограниченного интервала). Согласно полученной в теореме оценке имеем где
(для любых n > N, k - любое целое положительное число).
В силу критерия Коши (достаточность) это означает, что последовательность {un(x, t)} будет равномерно сходиться к некоторой функции u(x, t). При этом
Эта функция называется обобщенным решением задачи (1) - (2) в пространстве C(), - некоторая конечная область на плоскости (x, t),
Легко проверить, что она удовлетворяет начальным условиям. Полученная функция не зависит от выбора последовательности jn, yn. Замечательно, что в рассмотренном случае решение задачи Коши также дается формулой Даламбера (4).
§2. Решение краевых задач на полупрямой.
1. Однородные краевые задачи. Отражение волн на закрепленных и свободных концах.
Решим задачу
(1)
(2)
Эта задача представляет интерес в связи с изучением явлений отражения волн на границах. Кроме того, ее можно использовать как пропедевтический пример при выводе формулы Кирхгофа (см. §3.). Сведем задачу к предыдущей продолжением начальных данных на область х < 0. Ищем решение в виде
Если t - велико, то х – at < 0. Нужно доопределить j(х) и y(х) на отрицательную полуось. Имеем
(3)
Функции j и y задаются независимо. Действительно, поставленную задачу, пользуясь линейностью уравнения, можно свести к двум аналогичным, в которых либо функция j(х), либо y(х) будет равна нулю. Поэтому естественно потребовать выполнения следующих условий:
(4)
Мы положили в формуле (3) at = х. Перенесем теперь неизвестные функции в (4) в левую часть, предварительно продифференцировав второе уравнение:
Для функций j и y мы получили одно и то же дифференциальное уравнение. Заметим, что это уравнение совпадает с уравнением для функции j(х) в аналогичной задаче по распространению тепла на полупрямой (см. гл. IV) Поэтому получаем:
а)
Заметим, что должны выполняться условия согласования
б)
в) Решаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
Продолжение y(х) производится аналогично.
С помощью метода продолжений удобно исследовать явления отражения волн от границ на свободном и закрепленном концах. В случае 1-ой краевой задачи (закрепленный конец) происходит отражение волны с сохранением величины отклонения, но с изменением его знака на противоположный (Рис. 15 "Изменение фазы на p").
а)
Рис. 15.
б) Здесь изменения фазы не происходит (b = 0).
2. Задача о распространении краевого режима на полупрямой.
Рассмотрим задачи:
1)
Поставленная задача является уже задачей с неоднородными граничными условиями. Мы заменяем ее двумя более простыми, первую из которых мы уже умеем решать: и = v + w.
I.
II.
Единственная причина возникающего возмущения в задаче для w(x, t) - краевой режим: волна будет распространяться слева направо. Поэтому будем искать решение в виде
Имеем: Следовательно, f(x) = C (C - некоторая постоянная).
т.е. при х > 0.
Далее,
т.е.
Таким образом,
Это дает
2) Задача для полубесконечного однородного стержня с заданной на конце силой F(t): utt = a2uxx, (0 < x, t < +∞).
§3. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерного волнового уравнения.
1. Решение задачи Коши для сферически-симметричного случая.
Рассмотрим задачу Коши для однородного волнового уравнения в 3-мерном пространстве:
(1)
Получить решение задачи Коши для волнового уравнения в общем виде чрезвычайно важно, так как это уравнение описывает самые различные волновые процессы, встречающиеся в природе. И поэтому особенно приятно, что это тот редкий случай, когда решение задачи может быть выражено в виде явной формулы в реальном физическом пространстве (x, y, z, t).
а) Предварительно поставим задачу о нахождении решений однородного уравнения
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.