Методы математической физики: Курс лекций (Вывод основных уравнений математической физики. Метод функций Грина. Единственность решения основных задач), страница 18

если п > N, k - любое целое число, х - любое число (из ограниченного интервала). Согласно полученной в теореме оценке имеем  где

(для любых n > N, k - любое целое положительное число).

В силу критерия Коши (достаточность) это означает, что последовательность {un(x, t)} будет равномерно сходиться к некоторой функции u(x, t). При этом

Эта функция называется обобщенным решением задачи (1) - (2) в пространстве C(), - некоторая конечная область на плоскости (x, t),

Легко проверить, что она удовлетворяет начальным условиям. Полученная функция не зависит от выбора последовательности jn, yn. Замечательно, что в рассмотренном случае решение задачи Коши также дается формулой Даламбера (4).

§2. Решение краевых задач на полупрямой.

1. Однородные краевые задачи. Отражение волн на закрепленных и свободных концах.

Решим задачу

                                                        (1)

                                                   (2)

Эта задача представляет интерес в связи с изучением явлений отражения волн на границах. Кроме того, ее можно использовать как пропедевтический пример при выводе формулы Кирхгофа (см. §3.). Сведем задачу к предыдущей продолжением начальных данных на область х < 0. Ищем решение в виде

Если t - велико, то хat < 0. Нужно доопределить j(х) и y(х) на отрицательную полуось. Имеем

                                               (3)

Функции j и y задаются независимо. Действительно, поставленную задачу, пользуясь линейностью уравнения, можно свести к двум аналогичным, в которых либо функция j(х), либо y(х) будет равна нулю. Поэтому естественно потребовать выполнения следующих условий:

                                          (4)

Мы положили в формуле (3) at = х. Перенесем теперь неизвестные функции в (4) в левую часть, предварительно продифференцировав второе уравнение:

Для функций j и y мы получили одно и то же дифференциальное уравнение. Заметим, что это уравнение совпадает с уравнением для функции j(х) в аналогичной задаче по распространению тепла на полупрямой (см. гл. IV) Поэтому получаем:

а)

Заметим, что должны выполняться условия согласования

б)

в)  Решаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Продолжение y(х) производится аналогично.

С помощью метода продолжений удобно исследовать явления отражения волн от границ на свободном и закрепленном концах. В случае 1-ой краевой задачи (закрепленный конец) происходит отражение волны с сохранением величины отклонения, но с изменением его знака на противоположный (Рис. 15 "Изменение фазы на p").

а)

Рис. 15.

б) Здесь изменения фазы не происходит (b = 0).

2. Задача о распространении краевого режима на полупрямой.

Рассмотрим задачи:

1)

Поставленная задача является уже задачей с неоднородными граничными условиями. Мы заменяем ее двумя более простыми, первую из которых мы уже умеем решать: и = v + w.


I.

II.


Единственная причина возникающего возмущения в задаче для w(x, t) - краевой режим: волна будет распространяться слева направо. Поэтому будем искать решение в виде

Имеем:  Следовательно, f(x) = C (C - некоторая постоянная).

 т.е.   при х > 0.

Далее,

 т.е.  

Таким образом,

Это дает

2) Задача для полубесконечного однородного стержня с заданной на конце силой F(t): utt = a2uxx, (0 < x, t < +∞).



§3. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерного волнового уравнения.

1. Решение задачи Коши для сферически-симметричного случая.

Рассмотрим задачу Коши для однородного волнового уравнения в 3-мерном пространстве:

                                                      (1)

Получить решение задачи Коши для волнового уравнения в общем виде чрезвычайно важно, так как это уравнение описывает самые различные волновые процессы, встречающиеся в природе. И поэтому особенно приятно, что это тот редкий случай, когда решение задачи может быть выражено в виде явной формулы в реальном физическом пространстве (x, y, z, t).

а) Предварительно поставим задачу о нахождении решений однородного уравнения