Основные понятия моделирования. Виды моделирования. Этапы создания модели. Задачи математического программирования, страница 17

3.   Оцениваем адекватность модели реальным данным.

4.  Отливаем незначимые коэффициенты регрессии.

Решение в MathCAD (пример)

1.  Проведение эксперимента и заполнение таблицы

Вводим в MCAD вектора (либо в виде матрицы, либо в виде векторов)

     

2.  Вид зависимости. Строим график Y(X) . Вектор Х должен быть упорядочен по возрастанию.

3.  Рассчитывается коэффициент корреляции

Если значения в векторах сильно связаны, то коэффициент корреляции = 1.

   ,   n:=length(X),    где n – число элементов в векторе.

|tnable| > tkrit, то рассчитываем и анализируем коэффициент детерминации.

- если = 0,8 , то в 80% случаев объясняется наличием зависимости между Y и Х и только 20% случайным воздействиями.

4.  Подбор моделей

              > 0,9 – линейная модель

> 0,8 – квадратичная модель

Вxy =    > 0,5 – полином (старшая степень больше 2-х)

< 0,5 – нет смысла строить модель

Y(X) = kX+b  -  линейная модель

Если 0,83, то лучше выбрать квадратичную модель

Предположим, мы решили, что модель квадратичная, тогда нам необходимо рассчитать коэффициенты .

К:=0,1,…,n-1

Ек:=1

ХХ<0>:=E

XX<1>:=X

XX<2>:=X*X – поэлементное умножение векторов

F:=  - Матрица F

B:=  - Матрица В

Проверка |F|- определитель |F|-если не нуль, то вычисляем:

В результате получим квадратичную зависимость :

2). Оценка адекватности

AA:=Var(Y)n  , Var(Y) – дисперсия вектора Y

 , где - среднее значение, АА – суммарное отклонение экспериментальных точек от их среднего.

Вычисляем вектор прогнозируемых моделью значений в точках Х1,…,Хn.

W:=XX*A

Wi:=Y(Xi)

3). Вычисляем суммарную ошибку отклонения прогнозируемых значений от экспериментальных:

4). Определяем число параметров модели

Nr = 2 – линейная модель

Nr = 3 – квадратичная модель

Nr = m+1, если полином n-ой степени.

5).   Вычисляем остаточную дисперсию

6).   Вычисляем дисперсию адекватности

7). Проверяем гипотезу об адекватности:

Fkrit:=qF(1-, Nr, n-Nr) , :=0,05 – уровень значимости для технологических систем.

Если Fnable > Fkrit , то модель адекватна и ее можно использовать в расчетах.

4.Отсев незначащих коэффициентов регрессии

только 1 коэффициент имеет влияние, т.е. модель линейная.

Функция примет примерно следующий вид:

Примечание к одномерной модели

1.  Формулы верны для любого вида функций

Вектор прогнозируемых значений рассчитывается по формуле W=XX*A

2.  В расчете оценки адекватности используется только одна характеристика. Количество параметров модели.

Модель регрессионного анализа для многомерного случая

При исследованиях мы ограничимся только линейной зависимостью

Y(X1,X2,…,Xm)=

Схемы решения аналогично одномерного случая, за исключением:

1.  графики не строят

2.  коэффициент детерминации не рассчитывают.

Последовательность:

1.  Проводится эксперимент в n точках. В каждой точке измеряют m входных значений и одно выходное (Х1, Х2,…,Хm  и Y) . в результате получают таблицу:

Х1
Xm
Y	Y1		Yn

                  длина всех векторов n

2.  Рассчитываем коэффициенты уравнения линейной регрессии:

k:=0, 1, … , n-1

Ek:=1 единичный вектор

XX<0>:=EXX<1>:=X1     XX<2>:=X2  … …  XX<m>:=Xm

F:=

B:=

Далее проверяем определитель матрицы |F| , если он равен 0, то вычисления прекращаем. Если не равен 0, то вектор коэффициентов находим следующим выражением:

3.  Проверяем адекватность (те же формулы, что и для одномерной модели).

W:=XX*A

AA:=N*Var(Y)

Если Fnabl > Fkrit, то модель адекватна, и ее можно использовать в расчетах.

4.  Отсев несущественных факторов многомерной модели (оценка значимости коэффициентов регрессии) :

5.  Находим среднеквадратичное для каждого коэффициента:

Рассчитываем наблюдаемый критерий:

tnabl:=

Если |tnabl| > tkrit , то коэффициент  значимо влияет на выходной фактор Y; в противном случае – незначимо.

, т. е. 0 – незначимо, 1 – значимо.