Математические модели объектов управления. Общие сведения об идентификации. Идентификация импульсной и частотных характеристик. Структурная идентификация линейного стационарного объекта, страница 4

Полный, прямой, классический МНК поэтапно можно представить в следующем виде.

1. Формирование системы линейных алгебраических уравнений (3.9) на основании соотношений (3.1) – (3.8).

2. Определение нормированной МНК – оценки ИХ согласно (3.10).

3. Вычисление реализации оценки ИХ

.

4. Определение вещественной  и мнимой , ,  частей оценки АФХ

посредством прямого дискретного преобразования Фурье

с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

5. Определение оценки АЧХ .

6. Определение оценки ФЧХ .

Необходимо отметить следующие особенности классического МНК.

1. При решении практических задач идентификации ИХ, как правило, используется квадратурная формула прямоугольников и потому коэффициенты

.

2. Из-за плохой обусловленности матрицы , наличия вычислительных погрешностей и неизмеримых  и , даже в случае отсутствия помех  и , и идентификации не колебательной ИХ (достаточно большой шаг  и малое значение ), ошибки идентификации очень большие (среднеквадратичная на  ошибка более 100%).

Здесь бы показать рисунки результата классического МНК

Улучшить обусловленность матрицы , а тем самым уменьшить ошибку идентификации, позволяет регуляризация по А.Н. Тихонову, преобразующая систему линейных алгебраических уравнений (3.9) к виду

,                                           (3.14)

где  - единичная матрица, а  - параметр регуляризации. При соответствующем выборе параметра удается подавить высокочастотную составляющую ошибки (3.13).

В отличие от классического МНК модификацию (3.14) называют регуляризирующим МНК, а  - новый корректирующий параметр алгоритма. Существенным недостатком регуляризирующего МНК является сложность выбора величины параметра  при решении конкретной задачи идентификации, поскольку никаких рекомендаций в общем случае нет.

Здесь бы показать рисунки результата регуляризирующего МНК

Анализ оценки АЧХ  (рис. ?) позволяет сделать вывод, что ошибка идентификации  имеет спектр с явно выраженным высоким уровнем в высокочастотной области, за частотой , определяющей эффективную длительность  АЧХ объекта. Указанная особенность позволяет уменьшить, причем существенно, ошибку  за счет принудительного обнуления вещественной  и мнимой  частей АФХ  за некоторой частотой

 ,                                         (3.15)

с последующим уточнение оценки ИХ   путем обратного преобразования Фурье усеченной АФХ.

Частоту  будем называть частотой регуляризации, процедуру усечения АФХ – частотной регуляризацией, а метод – модифицированным МНК.

В вычислительном плане отличие модифицированного метода относительно классического МНК заключается в следующем.

1. На четвертой операции (см. этапы реализации классического МНК), после нахождения оценки  АФХ  , принудительно полагается

,     ,     .

2. Вводится дополнительная седьмая операция

,     .

 - новый корректирующий параметр, процедура выбора которого производится алгоритмически, исходя из рекомендации (3.15). Обычно получается, что  чуть меньше  и это обоснованно, т.к. подрезая АЧХ невысокого уровня (вблизи ), тем самым обнуляем более существенный уровень спектра ошибки идентификации.

Здесь бы показать рисунки результата модифицированного МНК

Априорной информацией для решения задачи идентификации ИХ служат реализации входного  и выходного  сигналов объекта, измеренные на интервале . При формировании же системы алгебраических уравнений (3.7) используются лишь отрезки измеренных сигналов длиной , причем .  Другими словами, значительная часть априорной информации не используется, хотя, например, при ,  , можно формировать новые системы уравнений, решения которых могут привести к уточнению МНК – оценок. Однако неоднократное формирование и решение алгебраических систем, тем более с прямоугольной () матрицей , что повышает помехоустойчивость за счет увеличения длительности интервала усреднения (параметра ), существенно повышает вычислительные затраты. Устранение этой проблемы возможно при использовании рекуррентной процедуры вычисления обратной матрицы  и МНК – оценки  .

Рекуррентный МНК (РМНК) выполняется в следующем виде.