Таким образом, с точки зрения точности приближения необходимо использование полиномов Чебышева и в этом смысле различие между способами приближения теряется.
В плане решения практических задач, когда приближаемая функция представлена в виде зашумленной реализации сигнала, предпочтительнее среднеквадратическая аппроксимация. Во-первых, как теория она имеет наиболее простой и законченный вид. Во-вторых, среднеквадратическая близость, за счет наличия интегрального оператора, учитывает погрешность приближения на всем интервале аппроксимации, а не в точке, а кроме того интегральный оператор обладает сглаживающими свойствами. Следовательно, представляется целесообразным, отдать предпочтение среднеквадратической аппроксимации, а именно обобщенному ряду Фурье по ортонормированным полиномам Чебышева первого рода.
Полиномы
Чебышева первого рода ортонормированны на интервале
с весом
.
Вычисление
коэффициентов Фурье при аппроксимации функции
предполагает использование
квадратурных формул с реализацией их на ЦВМ. Однако в точках и
весовая
функция обращается в
, поскольку в этих точках
знаменатель
равен нулю и вычисление коэффициентов
Фурье невозможно. Вручную, подобного рода интегралы не берутся, особенно если
задана не в аналитическом виде.
Исследования,
проведенные на предмет использования другого, близкого к полиномам Чебышева
базиса, проиллюстрировали неплохие результаты, когда в качестве
ортонормированного базиса брались близкие по виду и свойствам полиномы Лежандра
, ортонормированные на интервале
с весом
.
Таким образом, вопросы выбора способа приближения и вида базисных функций решены в пользу обобщенного ряда Фурье по полиномам Лежандра.
Восстановление идентифицируемых параметров осуществляется по найденным оценкам нестационарных спектральных характеристик (оценкам коэффициентов Фурье). Ошибки определения искомых параметров возникают по следующим причинам.
Во-первых, в условиях задачи идентификации аппроксимируемые
функции неизвестны, следовательно, неизвестны априори
и остаточные члены ряда Фурье
. В результате вектор
оказывается неизмеримым, и решать возможно
только усеченную систему
,
(9.8)
решение
которой представляет собой оценку вектора
, а значит удается определить лишь оценки
искомых нестационарных параметров
,
.
В результате имеем методическую погрешность идентификации
.
Во-вторых,
с учетом помех , возникающих при измерении сигналов
, система (9.8) принимает вид
,
(9.9)
где
,
,
,
.
Восстановление оценок идентифицируемых
параметров осуществляется по оценкам
нестационарных
спектральных характеристик, полученных в результате решения системы (9.9),
причем это восстановление может быть произведено либо сразу на всем интервале аппроксимации,
либо в отдельной точке этого интервала. Текущая идентификация предполагает информацию
о свойствах и поведении наблюдаемого объекта в момент времени
, что представляет собой точку правого
конца интервала аппроксимации и, логически, именно эту точку, казалось бы,
необходимо выбирать в качестве точки восстановления. Однако, как показывают
многочисленные модельные исследования, хорошо вписывающиеся в рамки свойств
полиномов Лежандра (впрочем как и Чебышева), ошибка идентификации минимальна
при восстановлении идентифицируемых параметров в точке
,
(9.10)
т.е.
в середине интервала аппроксимации. Именно в этой точке полиномы Лежандра с
нечетными индексами обращаются в нуль, что, вообще говоря, определяет и
значение параметра - количества слагаемых ряда
Фурье. Недостатком выбора точки восстановления в виде (9.10) является вносимое
в текущую идентификацию таким выбором запаздывание на величину
. В результате можно дать следующую
рекомендацию по выбору точки
. Если предъявляются
более жесткие требования к информации об объекте именно в данный момент
времени, пусть даже в ущерб точности этой информации, то следует полагать
. Если же функционирование объекта в том
технологическом процессе, где он используется, допускает небольших
запаздываний, но требует более точной информации о свойствах объекта, то точку
восстановления рекомендуется выбирать в виде (9.10).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.