Основные понятия и определения теории информации и кодирования. Задачи теории информации и кодирования, страница 45

Если он начинается НЕ В ПЕРВОМ бите первого кадра,то он может захватывать (л + 1)-й кадр.Чтобы доказать,что этот код может исправлять такой пакет ошибок,необходимо показать,что декодер может восстановить по синдрому пакет ошибок,а также,чтопакет ошибок,начинающийся в более позднем кадре,не вызовет сбоя в работе декодера.

Декодирование кодов Ивадаре лучше всего пояснить на примере,поскольку структура всех этих кодов одинакова.В качестве примера рассмотрим (72,48)-код Ивадаре с n0 = 3,л = 4 и,следовательно, с m + 1 =

= 24.Кодер представлен на рисунке.

┌────────────>

┌──┐─┬─────────────────────────────────────>┌──┐

├──┤┬│─────────────────────────────────────>├──┤

└──┘││                             ┌─┐  ┌─┐ ├──┤

────────┘  ││              ┌─────────────>│+│─>│+│>└──┘

││              │              └─┘  └─┘

││  0 1        9           21   │23  │

││ ┌─┬─┬────┬─┬─┬─┬────────┬─┬─┬─┐   │

│└>│ │ │... │ │ │ │  ...   │ │ │ │   │

│  └─┴─┴────┴─┴─┴─┴────────┴─┴─┴─┘   │

│                         ┌─┐        │

│                 ┌──────>│+│────────┘

│                 │       └─┘

│       0 1      4│      18│19

│      ┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┬─┬─┬─┐

└─────>│ │ │ │ │ │ │..│ │ │ │

└─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┴─┴─┴─┘

Рис.Кодер для (72,48) - кода Ивадаре.

Обозначим через c3(X) полином проверочных битов,а через c1(X) и

c2(X) полиномы информационных битов.Соответствующими полиномами ошибок будут e1(X),e2(X) и e3(X).Синдромный полином равен

S(X) = e3(X) + (X^4 + X^19)e2(X) + (X^9 + X^23)e1(X), где для пакета ошибок,начинающегося в первом кадре,

e1(X) = e30 + e31X + e32X^2 + e33X^3,

e2(X) = e20 + e21X + e22X^2 + e23X^3 + e24X^4,

e1(X) = e10 + e11X + e12X^2 + e13X^3 + e14X^4, где вторые индексы означают номер кадра:

...      4-й       3-й      2-й      1-й      0-й  кадры

e1       ┌─┐       ┌─┐      ┌─┐      ┌─┐      ┌─┐── e10

e2       ├─┤       ├─┤      ├─┤      ├─┤      ├─┤

e3       ├─┤       ├─┤      ├─┤      ├─┤      ├─┤

┌└─┘       └─┘      └─┘      └─┘      └─┘

e34

Заметим,что если пакет начинается в первом кадре (0-м кадре на рисунке),то e34 равняется нулю.Если,далее,e24 отличен от нуля,то e20

и e10 равны нулю;если e14 отличен от нуля,то e10 равен нулю.Это следует из того,что длина пакета не превосходит 12.

На следующем рисунке представлены коэффициенты S(X) для трёх случаев,в которых пакет ошибок начинается в e10,e20 и e30 соответственно.

Синдромный полином:

───────────────────────────────────────────────┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐

.    .    .                 │S5│S4│S3│S2│S1│S0│

───────────────────────────────────────────────┴──┴──┴──┴──┴──┴──┘

Равен:

если пакет начинается в e10

──────────┼─────────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼───────┐

│1 1 1 1  │2 2 2 2 │         │ 1 1 1 1│ 2 2 2 2│3 3 3 3│

... 00    │         │        │0 0 0 0 0│0       │0       │       │

│3 2 1 0  │3 2 1 0 │         │ 3 2 1 0│ 3 2 1 0│3 2 1 0│

──────────┼─────────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼───────┘

если пакет начинается в e20

──────────┼─────────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼───────┐

1 │1 1 1    │2 2 2 2 │         │1 1 1 1 │ 2 2 2 2│3 3 3 3│

... 00    │       0 │        │0 0 0 0 0│       0│0       │       │

4 │3 2 1    │3 2 1 0 │         │4 3 2 1 │ 3 2 1 0│3 2 1 0│

──────────┼─────────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼───────┘

если пакет начинается в e30

──────────┼─────────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼───────┐

│1 1 1 1  │2 2 2 2 │         │1 1 1 1 │2 2 2 2 │3 3 3 3│

│         │       0│0 0 0 0 0│       0│       0│       │

│4 3 2 1  │4 3 2 1 │         │4 3 2 1 │4 3 2 1 │3 2 1 0│

──────────┼─────────┼────────┼─────────┼────────┼────────┼───────┘

отклик    отклик   отклик     e1(X)    e2(X)    e3(X)

e1(X)     e2(X)    e3(X)

Порождающие полиномы были выбраны так,чтобы на каждый бит синдрома влиял лишь один ошибочный бит.Кроме того,заметим,что хотя в начале полиномы перемежены и располагаются при формировании синдрома в порядке e3(X),e2(X),e1(X).