│ 1 0 0 ... 0 0 │
│ 0 1 0 ... 0 0 │
│ 0 0 1 ... 0 0 │
Uk = │ . . . ... . . │ .
│ . . . ... . . │
│ . . . ... . . │
│ 0 0 0 ... 0 1 │
При этом проверочная подматрица должна удовлетворять следующим условиям:
1.Количество единиц в строке должно быть не менее d min - 1.
2.Сумма по модулю два двух любых строк должна содержать не менее d min - 2 единиц.
Для кодов с d min = 2 производящая матрица имеет вид:
│1 0 0 ... 0 1│ │1 0 0 ... 0│ │ 1 │
│0 1 0 ... 0 1│ │0 1 0 ... 0│ │ 1 │
Pn,k = │0 0 1 ... 0 1│ = │0 0 1 ... 0│ │ 1 │
│. . . ... . .│ │. . . ... .│ │ . │
│0 0 0 ... 1 1│ │0 0 0 ... 1│ │ 1 │
\───────────/ \───/
Uk Hp
Во всех комбинациях кода,построенного при помощи такой матрицы, чётное число единиц.
Для кодов с d min = > 3 параметры производящей матрицы определяются исходя из количества информационных разрядов и заданных корректирующих способностей кода.Порядок построения и выбор параметров производящей матрицы для d min = > 3 рассмотрим на примере.
ПРИМЕР.
Построить матрицу для группового кода,способного исправлять одиночную ошибку при передаче 16 символов первичного алфавита.
РЕШЕНИЕ.
1.Так как число информационных разрядов кода k = 4 (16=2^4)
точисло строк производящей матрицы равно 4.
2.Число корректирующих разрядов для кодов с d min = 3 равно
p = [log 2 {(k + 1) + [log 2 (k + 1)]}] = log 2 8 = 3, тогда длина кода n = p + k = 3 + 4 = 7,и общее число столбцов равно
7.
3.Вкачестве информационной подматрицы Uk выбираем единичную,поэтому,поскольку вес каждой строки проверочной подматрицы должен быть не менее d min -1 = 3 - 1 = 2,то в качестве строк проверочной подматрицы Hp могут быть выбраны трёхзначные двоичные комбинации с числом единиц,большим или равным двум: 011,101,110,111.
4.Окончательный вид Pn,k матрицы
│1 0 0 0 1 1 1│ │1 0 0 0 1 1 1│
│0 1 0 0 1 1 0│ │0 1 0 0 0 1 1│
Pn,k 1 = │0 0 1 0 1 0 1│; или Pn,k 2 = │0 0 1 0 1 1 0│; или
│0 0 0 1 0 1 1│ │0 0 0 1 1 0 1│
│1 0 0 0 0 1 1│
│0 1 0 0 1 0 1│
Pn,k 3 = │0 0 1 0 1 1 0│.
│0 0 0 1 1 1 1│
Как видно из примера,основным требованиям могут удовлетворять несколько матриц.
ВЫБОР той или иной матрицы из числа матриц,возможных для данных k
и d min определяется по дополнительным трнбованиям:МИНИМУМ КОРРЕКТИРУЮЩИХ РАЗРЯДОВ ИЛИ МАКСИМАЛЬНАЯ ПРОСТОТА АППАРАТУРЫ КОДЕРА И ДЕКОДЕРА.
Корректирующие коды с минимальным количеством избыточных разрядов называют ПЛОТНОУПАКОВАННЫМИИ ,ИЛИ СОВЕРШЕННЫМИ КОДАМИ.
Примеры плотноупакованных кодов для d min = 3 : P3,1 ; P7,4 ;
P15,11 ; P31,26 ; P63,57 и т.д.
МАКСИМАЛЬНАЯ ПРОСТОТА АППАРАТУРЫ кодера и декодера ДОСТИГАЕТСЯ В
НЕПЛОТНО УПАКОВАННЫХ КОДАХ с малой малой плотностью проверок на чётность.Такие коды содержат минимальное число единиц в корректирующих (проверочных) разрядах порождающей матрицы (т.е.в проверочной матрице).При построении одов с максимально простыми шифраторами и дешифраторами для обеспечения условия d min = 3 последовательно выбираются векторы весом W = 2,3,...p.(Коды Галлагера P).
ПРИМЕР.
Построить код для k = 20,d min = 3,при условии максимальной простоты аппаратуры кодера и декодера.
РЕШЕНИЕ.
p = [log 2 {(k + 1) + [log 2 (k + 1)]}] = 5.
Минимальное количество корректирующих разрядов,обнспечивающих
d min = 3 p = 5.
Производящая матрица кода состоит из единичной информационной подматрицы из 20 строк и столбцов и проверочной подматрицы.Минимальный вес строки проверочной подматрицы равен d min -1 = 2.В проверочной подматрице должно быть 20 строк и МИНИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ЕДИНИЦ.
Если выбрать p = 5,получим 10 строк с весом 2 и 10 строк с весом 3, т.е.10 * 2 + 10 * 3 = 50 единиц.
Если выбрать p = 6,получим 15 строк с весом 2 и 5 строк с весом 3, т.е.15 * 2 + 5 * 3 = 45 единиц.
Если выбрать p = 7,получим 20 строк с весом 2,т.е.20 * 2 = 40 единиц.
Таким образом,код с k = 20 и p = 7 имеет максимальную простоту аппаратуры кодера и декодера.Проверочная подматрица будет состоять из
20 строк следующих комбинаций:0000011,0000101,0000110,0001001,
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.