1933 г. Согласно теореме Котельникова, или теореме отсчетов, если функция непрерывна и ее частотный спектр не содержит составляющих с частотой, превышающей F, то она полностью определяется совокупностью ординат, отстоящих во времени друг от друга на 1/2 F.
Физический смысл теоремы Котельникова заключается в следующем. Предположим, требуется передать значения непрерывной функции
u(t) при помощи дискретных сигналов (рисунок). Это можно сделать, передавая через определенные интервалы времени t значения функции
u(t).
Теорема Котельникова :
Если непрерывная функция X(t) удовлетворяет условиям Дирихле
(ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов) и ее спектр ограничен некоторой частотой fc, то она полностью определяется последовательностью своих значений в точках, отстоящих на расстоянии Tk = 1/2fc друг от друга.
Аналитически теорема Котельникова выражается интерполяционным рядом
oo
__
\ sin[Wc(t-kt)]
X(t) = / X(kt) ───────────────,
── Wc(t-kt)
k=-oo
Pi 1
где t = ──── = ───.
Wc 2fc
Непосредственно из этого выражения следует, что непрерывная функция с ограниченным спектром может быть представлена в виде суммы бесконечно большого числа членов, каждый из которых является произведением функции вида
sin(y)
──────
y
(функции отсчета) и коэффициента X(kt), определяющего значение функции X(t) в момент отсчета.
Функция отсчетов представлена графически на рисунке, где введено обозначение Г = t - kt Эта функция в момент времени t=kt
достигает максимального значения и равна единице. В момент времени
t=(k+i)t, где i = 1, 2, 3..., oo, функция отсчетов обращается в нуль.
^
sin WcГ │
─────── │1
WcГ /-\
/ │ \
/ │ \
/-\ / │ \ /-\
/ \ / │ \ / \
─────/─────\─────/─────┼─────\─────/─────\──────>
-/ \ / │0 \ / \3Pi 2Pi\-/ Pi Pi \-/2Pi 3Pi
-─── -─── -── ── ─── ───
Wc Wc Wc Wc Wc Wc
sin WcГ
Как известно, функция вида ─────── представляет собой реакWcГ
цию идеального фильтра нижних частот с ограниченной частотой на дельта-функцию. Тогда, если через такой фильтр пропустить квантованный во времени сигнал с частотой квантования
Wc
fk = 2fc = ────,
Pi
то суммируя выходные сигналы фильтра можно получить исходный непрерывный сигнал X(t).
Однако при практическом применении теоремы Котельникова возникает ряд принципиальных затруднений.
Для точного восстановления исходной функции необходимо получить и просуммировать реакции фильтров на входные импульсы на всей оси времени от -oo до +oo, или хотя бы достаточно большого количества импульсов до и после аппроксимируемого участка функции.
Практически реализовать это трудно. Далее, функции отсчетов, генерируемые фильтром низких частот, должны иметь бесконечную протяженность во времени как для положительных, так и для отрицательных значений t. Такие фильтры физически неосуществимы. Наконец на практике приходится иметь дело с сигналами, ограниченными во времени и обладающими, следовательно, бесконечно широким спектром, что противоречит основному условию теоремы.
Однако на практике никогда не требуется идеально точного воспроизведения передаваемого сигнала.
Поэтому с целью использования теоремы Котельникова для квантования сигналов реальный спектр сигнала, простирающийся от нуля до бесконечности, условно ограничивают некоторым диапазоном от нуля до
Wc, в котором сосредоточена основная часть энергии спектра. Энергия отсекаемой части спектра сигнала характеризует погрешность, возникающую за счет ограничений спектра частотой Wc. Эту погрешность можно оценить отношением энергии, содержащейся в отсекаемой части спектра, к общей энергии сигнала.
Фундаментальное значение теории Котельникова в прикладном плане заключается в том, что она указывает на возможность восстановления исходного непрерывного сигнала по его отсчетным значениям с любой сколь угодно малой наперед заданной погрешностью. При этом заданная погрешность задает шаг квантования.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.