Под вычитанием ( a - b ) понимается a + ( - b );под делением
( a / b ) понимается (b^-1)*a.
Широко известны следующие примеры полей:
1) R : множество вещественных чисел;
2) C : множество комплексных чисел;
3) Q : множество рациональных чисел;
Все эти поля содержат бесконечное множество элементов.Мы интересуемся полями с конечным числом элементов.
Поле с q элементами,если оно существует,называется конечным полем или ПОЛЕМ ГАЛУА и обозначается через GF (q).
Что представляет собой наименьшее поле? Оно обязательно содержит нулевой элемент и единичный элемент.На самом деле этого уже достаточно при следующих таблицах сложения и умножения:
+│0 1 *│0 1
─┼─── ─┼───
0│0 1 0│0 0
1│1 0 1│0 1
Это поле GF(2),с которым мы будем иметь дело.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Пусть F - некоторое поле.Подмножество в F называется
ПОДПОЛЕМ,если оно само является полем относительно наследуемых из F
операций сложения и умножения.В этом случае исходное поле F называется РАСШИРЕНИЕМ ПОЛЯ.
МНОГОЧЛЕНОМ ( ПОЛИНОМОМ ) над полем GF(q) называется математическое выражение
f(X) = fn-1 * X^(n-1) + fn-2 * X^(n-2) +...+ f1 * X + f0, где символ X называют НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ (фиктивной)переменной,коэффициенты fn-1,...,f0 принадлежат полю GF(q),а индексы и показатели степеней являются целыми числами.
НУЛЕВЫМ ПОЛИНОМОМ называется полином f(X) = 0.
ПРИВЕДЕННЫМ ПОЛИНОМОМ называется полином,старший коэффициент fn-1
которого равен 1.
СТЕПЕНЬЮ ненулевого полинома f(X) назыается индекс старшего коэффициента fn-1;степень номинала f(X) обозначается через deg f(X).
НЕПРИВОДИМЫМИ назыаются полиномы,которые не могут быть представлены в виде произведения полиномов низших степеней с коэффициентами из того же поля.
Приведённые неприводимые полиномы называются ПРОСТЫМИ.
Для произвольного приведённого полинома p(X) ненулевой степени над полем F КОЛЬЦОМ ПОЛИНОМОВ ПО МОДУЛЮ P(X) называется множество всех полиномов над F,степень которых не превосходит степени полинома
p(X),с операциями сложения и умножения полиномов по модулю p(X).
Кольцо полиномов по модулю приведённого полинома p(X) является полем тогда и только тогда,когда полином p(X) прост.
В качестве примера построим поле GF(4) по полю GF(2),используя полином p(X) = X^2 + X + 1 .
Этот полином неприводим.Элементы поля задаются полиномами {0,1,X,
X+1}.Кроме того они могут быть представлены в другом обозначении:
Полиномильное Двоичное Десятичное Степенное обозначение обозначение обозначение обозначение
0 00 0 0
1 01 1 X^0
X 10 2 X^1
X+1 11 3 X^2
Арифметические таблицы (сложения и умножения) будут иметь вид:
+ │ 0 1 X X+1 * │ 0 1 X X+1
───┼─────────────────── ───┼───────────────────
0 │ 0 1 X X+1 0 │ 0 0 0 0
1 │ 1 0 X+1 X 1 │ 0 1 X X+1
X │ X X+1 0 1 X │ 0 X X+1 1
X+1│ X+1 X 1 0 X+1│ 0 X+1 1 X
Элемент B называется КОРНЕМ полинома p(X) или КОРНЕМ уравнения
p(X) = 0,если p(B) = 0.
Полином не обязательно имеет корни в своём собственном поле.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.ПРИМИТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ поля GF(q) называется такой элемент a,что ве элементы поля,за исключением нуля,могут быть представлены в виде степени элемента а.
Например,в поле GF(5) 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 3, 2^4 = 1,так что
2 является примитивым элементом поля GF(5).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.ПРИМИТИВНЫМ ПОЛИНОМОМ p(X) над полем GF(q) называется простой полином над FG(q),такой,что в расшрении поляБпотроенном по модулю p(X),соответствующий полиному X элемент является ПРИМИТИВНЫМ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Пусть GF(q) - некоторое поле,пусть GF(Q) - расширение поля GF(q),и пусть В - элемент GF(Q).простой многочлен f(X) наименьшей степени над GF(q),для которого f(B) = 0,называется МИНИМАЛЬНЫМ
ПОЛИНОМОМ элемента В над GF(q).
Примитивные и минимальные полиномы определяют с помощью таблиц.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.