Конспект лекций по дисциплине "Аналитическая геометрия"

МИНИСТЕРСТВО  АГРАРНОЙ  ПОЛИТИКИ  УКРАИНЫ

КЕРЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики и физики

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

направления 6.070104 «Морской и речной транспорт»

Керчь  2008 г.

Автор (составитель): Моисеенко С.С. старший преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ

Конспект лекций рассмотрен и одобрен на заседании кафедры ВМ и Ф КГМТУ,

протокол №   10    от   « 12 »     06     2008 г.

          Керченский государственный морской технологический университет

Тема I

Аналитическая геометрия

Глава I Аналитическая геометрия на плоскости

§ 1 Метод координат

п 1. Предмет и метод аналитической геометрии

Аналитическая геометрия отличается от элементарной главным образом своим методом.

Элементарная геометрия доказывает теоремы с помощью чертежа; т.е. методом построения.

В аналитической геометрии, опираясь на вывод формулы и установленные правила, все геометрически задачи решаются только с помощью вычислений, не обращаясь к чертежу. Поэтому говорят, что аналитическая геометрия есть геометрия вычисления.

п 2. Система декартовых прямоугольных координат на плоскости

Для определения положения точки на плоскости вводят так называемую декартову прямоугольную систему координат ХОУ (рис. 1).

ох – горизонтальная ось (абсцисса)

оу – вертикальная ось (ордината)

оси ох и оу взаимно перпендикулярны

Точка О – точка пересечения осей называется началом координат.

Систему единиц берут обычно одинаковой для обеих осей.

п 3. Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом; исходящего из этой точки луча ОА. Называемого полярной осью, и масштаба для измерения длины (рис. 2).

Поворот вокруг точки О будет положительным, если он происходит против часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную точку М  - расстояние от полюса до точки М. φ – угол на который нужно повернуть полярную ось, чтобы она совпала с лучом ОМ. Условимся угол φ брать в пределах .

Тогда в каждой точки плоскости будет соответствовать единственная пара чисел ρ и φ (для полюса ρ = 0; φ – произвольно).

Числа ρ и φ называются полярными координатами точки М. При этом число ρ называется полярными координатами точки М. При этом число ρ называется полярным радиусом; φ – полярным углом.

п 4. Переход от полярных координат к декартовым и обратно

Наша цель, зная полярные координаты некоторой точки, вычислить ее декартовы и обратно, зная декартовы координаты, вычислить полярные координаты.

Пусть полюс полярной системы совпадает с началом декартовых координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс (рис 3)

Пусть М (х, у) произвольная точка на плоскости. Х и У ее декартовы координаты ρ и φ – полярные.

Опустим из М перпендикуляр на оси х и у

Тогда