Математика \ Аналитическая геометрия на плоскости

Конспект лекций по дисциплине "Аналитическая геометрия", страница 10

п. 8 Парабола и ее уравнение

Определение. Парабола есть геометрическое место точек равностоящих от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы примем за ось х прямую, проходящую через фокус F₁ перпендикулярную к директрисе и будем считать ось х направленной от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой, длину которого обозначим через р (рис. 34). Величину р назовем параметром параболы. Точка координат фокуса .

Пусть М (х, у) – произвольная точка параболы.

Согласно определению

у² = 2рх – каноническое уравнение параболы

Для определения вида параболы преобразуем ее уравнение отсюда следует . Следовательно, вершина параболы находится в начале координат и осью симметрии параболы является ох. Уравнение у² = -2рх при положительном р сводится к уравнению у² = 2рх путем замены х на –х и ее график имеет вид (рис. 35).

Уравнение х² = 2ру является уравнением параболы с вершиной в точке О (0; 0) ветви которой направлены вверх.

х² = -2ру – уравнение параболы с центром в начале координат симметричная относительно оси у, ветви которой направлены вниз (рис. 36).

У параболы одна ось симметрии.

Если х в первой степени, а у во второй, то ось симметрии есть х.

Если х во второй степени, а у в первой, то ось симметрии есть ось оу.

Замечание 1. Уравнение директрисы параболы имеет вид .

Замечание 2.Так как для параболы , то ε параболы равен 1. ε = 1.

п. 9 Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Пусть дана одна из названных линий (L). Пусть F – фокус линии, g – соответствующая этому фокусу директриса. Введем полярную систему координат, так чтобы фокус совпадал с полюсом, а полярную ось направим в сторону противоположную директрисе, перпендикулярной ее (рис. 37).

Возьмем произвольную точку М (ρ, φ) на линии L. Возьмем соотношение (1). В нашем случае r = ρ