Математика \ Аналитическая геометрия на плоскости

Конспект лекций по дисциплине "Аналитическая геометрия", страница 11

Пусть положение новых осей относительно старой системы определяется заданием старых координат нового начала o^| (а, в)

а – величина сдвига по направлению оси ох

в – величина сдвига по направлению оси оу.

Произвольная точка М имеет относительно старых осей координат М (х, у) относительно новых М (x^| , у^|).

Наша цель установить формулы, выражающие х и у через x^| , у^| и наоборот.

Спроектируем точку М на оси ох и o^|x^|.

ОМх = о o^|_х + o^|_хМх или х = x^| + а (1) → выражение старых координат

аналогично у = у^| + в через новые

x^| = х – а (1 а) выражение новых координат

у^| = у – в через старые

п 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей

Пусть ох и оу – старые, а ох^| и оу^| - новые координатные оси. Положение новых осей относительно старых определяется заданием угла поворота, совмещающих старые оси с новыми (рис. 39).

Пусть α – угол поворота. Произвольная точка М имеет относительно старых осей координаты х; у, а относительно новых x^|; у^|. Наша цель установить формулы, выражающие х и у через x^|и у и обратно.

Пусть ρ и φ полярные координаты точки М, если за полярную ось принять ось ох и ρφ', если за полярную ось принять оx'

Отсюда

Итак, → выражение старых координатных осей через новые.

Формулы, выражающие новые координаты x' и y' через старые х и y'. Можно получить из следующих рассуждений.

Если новая система получается из старой путем поворота на угол α, то старая система получается из новой путем поворота на угол – α. Поэтому в равенствах (2) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на – α.

Тогда:

или (2а) → выражение новых координатных осей через старые.

п 3. Преобразование декартовых координат при изменении начала и поворота осей

Пусть а – величина сдвига в направлении оси ох; в – величина сдвига в направлении оси оу α – угол поворота

х, у координаты точки М в старых осях

x'; y' – координаты точки М в новых осях (рис. 40).

Введем вспомогательную систему координат , направление осей которой совпадает с направлением осей старой системы, а начало координат совпадает с началом новой системы.