Оптимизация систем радиоавтоматики. Комплексные системы радиоавтоматики, страница 6

,                            (5.34)

где  и  – известные величины; ; ; производная нелинейной ‑мерной функции  по -мерному вектору  – матрица размером ;

  .

Можно привести уравнение (5.34) к виду (5.13), если ввести новую переменную . Тогда для линейных уравнений (5.33) и (5.34) алгоритм формирования несмещенной оценки в соответствии (5.14) принимает вид

.                  (5.35)

Подставим ,  и  в (5.35) и получим так называемый расширенный фильтр Калмана.

,                    (5.36)

где ;  .

Линеаризация нелинейных зависимостей, используемая при построении расширенного фильтра Калмана, основана на предположении о малой величине ошибки фильтрации. Например, при линеаризации функции  в уравнении (5.34) величина ошибки определения временного положения сигнала в дальномере с импульсным сигналом должна быть малой по сравнению с длительностью импульса.

Пример 5.3. Построим расширенный фильтр Калмана для дальномера с импульсным сигналом. Случайное изменение задержки  формируется фильтром, в котором скорость  моделируется винеровским процессом. Вектор состояния системы . Дифференциальное  уравнение процесса в данном примере линейное вида (5.12) с матрицами  и  из выражения (3.25).

 и .

Уравнение наблюдения в данном случае скалярное.

,

где  – импульсный сигнал, задержанный на интервал ;  белый шум со спектральной плотностью .

Найдем производную нелинейной функции  по  в точке .

Производная содержит две строки. Вторая строка равна нулю, так как в функции  не содержится скорость .

.

Используя формулы (5.36), найдем оптимальный коэффициент усиления и уравнение фильтра.

 и

.              (5.37)

Рассмотрим выражение .

 Построим осциллограммы сигналов ,  и  (рис. 5.11). Результат умножения сигнала  на производную зависит от ошибки оценивания . При отсутствии ошибки , и произведение представляет симметричную знакопеременную функцию, которая при интегрировании даст нулевой результат. При появлении ошибки функция становится несимметричной и появляется сигнал ошибки. Произведение производной на сигнал  дает симметричную функцию, и не создает сигнал ошибки. При построении структурной схемы фильтра в соответствии с выражением (5.37) эту величину не учитываем. Схема оптимального нелинейного фильтра содержит умножитель принятого сигнала   на производную  (рис. 5.12). Эта операция выполняет функцию оптимального дискриминатора. Сигнал ошибки после умножителя поступает на сглаживающий фильтр с двумя интеграторами и оптимальными коэффициентами  и .

Рассмотрим задачу нелинейной фильтрации в дискретном времени. Нелинейные разностные уравнения случайного процесса  и наблюдения отличаются от линейных уравнений (5.19) и (5.20) из-за наличия нелинейных функций  размерности  и  и размерности .

,                                      (5.38)

.                                           (5.39)

Характеристики шумов  и  не отличаются от линейного случая.

            Как и ранее в линейной задаче предполагается наличие известной оптимальной оценки  и ее корреляционной матрицы .

            Выполним линеаризацию уравнения (5.38) в точке .

=

,                             (5.40)

где  – известная величина; ; производная  –  матрица размером ;  

Используя линейное уравнение (5.40), найдем оценку экстраполяции .

            Выполняя подстановку величины , получим выражение.

.                                           (5.41)

            Для вычисления корреляционной матрицы ошибок экстраполяции используем выражение подобное (5.22), заменив  на  .

.                    (5.42)

Теперь выполним линеаризацию уравнения (5.39) в точке .

,                                               (5.43)

где ;  – матрица размером .

Используя (5.43), составим наблюдение , и воспользуемся уравнением линейной фильтрации (5.23).

.

Выполняя подстановку величины , получим выражение

.                              (5.44)

Для расчета коэффициента  и корреляционной матрицы ошибок фильтрации  используем выражения (5.26) и (5.27), заменив в них  на  .

.        (5.45)

.                                                     (5.46)