Другие предметы \ Основы автоматики и систем автоматического управления

Оптимизация систем радиоавтоматики. Комплексные системы радиоавтоматики, страница 5

. (5.26)

Существует и другой вариант вычисления матрицы и оптимального коэффициента .

. (5.27)

. (5.28)

Последний вариант вычисления коэффициента используется на практике редко, так как выражение (5.27) содержит три обращения матриц.

Система уравнений (5.20), (5.22), (5.23), (5.25), и (5.26) определяют алгоритм оптимальной фильтрации Калмана в дискретном времени (рис. 5.9, б).

Особенность полученного алгоритма заключается в том, что в каждый момент времени используются только значения оптимальной оценки и ее корреляционной матрицы в предыдущий момент времени. Это свойство объясняется тем, что процесс является марковским процессом.

Пример 5.2. Построим фильтр Калмана для оптимального оценивания фазы генератора , в котором скорость изменения фазы является винеровским процессом. Разностные уравнения формирующего фильтра (5.18) в рассматриваемом случае имеют вид (3.28). Уравнение наблюдения (5.19) при измерении фазы с ошибкой принимает вид .

Из уравнения экстраполяции (5.20), используя выражения (3.26) и (3.28) получим

и .

Определив коэффициент , из уравнения фильтрации (5.23) получим систему уравнений.

, (5.29)

. (5.30)

Выражениям (5.29) и (5.30) соответствует схема на рис. 5.10. Коэффициенты и должны вычисляться в соответствии с выражениями (5.23), (5.26) и (5.27).

Алгоритмы оптимальной фильтрации позволяют минимизировать ошибки только при точном знании априорных данных – матриц шумов и , а также начального значения корреляционной матрицы . Если значения матриц и реальных процессов намного превышают значения, использованные при расчете коэффициента усиления , может возникнуть расходимость фильтра, то есть нарастание ошибок с течением времени. Для преодоления априорных трудностей используют адаптивные алгоритмы фильтрации.

5.6. Оптимальная нелинейная фильтрация

В радиотехнических системах полезные параметры (дальность, угловые координаты и т.д.) модулируются в принятом радиосигнале нелинейным образом. Кроме того, навигационные параметры, содержащиеся в наблюдаемой величине , во многих радионавигационных системах связаны нелинейной зависимостью с вектором состояния , характеризующим положение и вектор скорости объекта. В простейших расчетах предполагается, что дискриминатор работает на линейном участке характеристики, и используется теория линейной фильтрации. Однако для более точных расчетов необходимо использовать теорию нелинейной фильтрации. Советский ученый Р.Л.Стратонович в 1960 г. получил уравнение (которое носит его имя), описывающее изменение во времени апостериорной плотности марковского процесса в нелинейной системе (см. 7.8). Уравнение Стратоновича содержит частные производные и его численное решение связано с большими трудностями. В линейном случае из уравнения Стратоновича можно получить алгоритм фильтра Калмана. В нелинейной системе плотность вероятности имеет негауссовское распределение. Одним из подходов для получения приближенного решения задачи нелинейной оптимальной фильтрации является гауссовская аппроксимация апостериорной плотности. Приближенное решение может быть получено также и методом линеаризации нелинейных зависимостей и последующим использованием теории линейной фильтрации.