Метод простих ітерацій. Метод Ньютона. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), страница 7

.                          (5.27)

 

                                y

                                                                                                *

                                                                                         *

                                                             *

                                                       *

                                                *

                                                          *

                                         *

                               O                                                  x

 

Кубічні сплайни

На практиці широкого застосування набули кубічні сплайни. Доведено, що такий інтерполюючий сплайн - єдина функція з мінімальною кривиною серед усіх функцій, які інтерполюють задану функцію і мають квадратично інтегровану другу похідну. В цьому розумінні кубічний сплайн з крайовими умовами є найкра-щою з функцій, що інтерполюють задану функцію.

Отже, якщо  (), , то кубічний сплайн на цьому відрізку

Тут  .  Для їх визначення  накладають умови неперервності другої похідної в точці  та обмеження на значення сплайна і його похідних на кінцях проміжку  - крайові умови. Тобто потрібна додаткова інформація про функцію, для якої є потреба в інтерполюванні.

Випадки використання кубічного сплайна.

При побудові інтерполяційного кубічного сплайну найчастіше використовуються граничні (крайові) умови чотирьох типів. Вибір граничних (крайових) умов є однією з центральних проблем при інтерполяції функцій. Він особливо важливий при потребі забезпечити високу точність апроксимації функції  сплайном  поблизу кінців відрізка . Граничні значення суттєво впливають на поведінку сплайна  поблизу точок а та b. Цей вплив швидко слабшає при відході від них.

Якщо на кінцях відрізка  відомі значення 1-ї похідної , то природно скористатися граничними (крайовими) умовами 1-го типу.

1  Граничні (крайові) умови 1-го типу. Якщо відомо, що , то для визначення  маємо систему рівнянь

                       (5.28)

Якщо на кінцях відрізка  відомі значення 2-ї похідної , то природно скористатися граничними (крайовими) умовами 2-го типу.

2  Граничні (крайові) умови 2-го типу. Якщо відомо

, то відповідна система рівнянь

                      (5.29)

Якщо є можливість вибору між граничними (крайовими) умовами 1-го та 2-го типу, то перевагу слід надати умовам 1-го типу.

                                                                                                                                     У випадку, коли ніякої додаткової інформації про поведінку апроксимованої функції нема, часто використовують так звані природні граничні (крайові) умови .Однак слід мати на увазі, що при такому виборі граничних (крайових) умов точність апроксимації функції  сплайном  поблизу кінців відрізка  різко знижується. Іноді користуються граничними (крайовими) умовами 1-го або 2-го типу, але не з точними значеннями відповідних похідних, а з їх різницевими апроксимаціями. Точність такого підходу невисока.

                                                                                                                  Практичний досвід розрахунків показує, що в такій ситуації найбільш доцільним є вибір природних граничних ( крайових) умов.

Якщо  - періодична функція, то слід зупинитися на граничних (крайових) умовах 3-го типу.

3  Граничні (крайові) умови 3-го типу. Якщо  - періодична функція , то  і система рівнянь має вигляд

              (5.30)

Необхідно обчислити визначений інтеграл

I=

за умови, що а і b – певні числа, а  є неперервною функцією на інтервалі інтегрування  Для цього розіб’ємо відрізок  на  часткових інтервалів точками  з кроком , у кожному з яких виберемо довільні точки .

 

                  y

                 O          x_{1 ……}    x_i    x_i+1   …                          x