Метод простих ітерацій. Метод Ньютона. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), страница 15

де (х,у) — задана неперервна функція. Припускаємо, що f(x,y), (х,у) є такі, що розв'язок задачі (9.35), (9.36) існує, є єдиним і є достатньо гладкою функцією. При f = 0 отримуємо задачу Діріхле для рівняння Лапласа, однією з важливих властивостей якої є виконання принципу максимуму: неперервний в G і відмінний від константи розв'язок u(х,у) може досягати свого максимального за модулем значення тільки на границі Г. Звідси випливає, що є справедливою оцінка

 ,                  (9.37)

яка означає стійкість задачі за граничними даними. Вкриємо область G площини (х,у) сіткою паралельних прямих , утворивши сітчасту область вузлів (x_i,y_k) G_h з границею Г_h (рис. 9.1).

Замінимо похідні рівняння (9.35) у внутрішніх вузлах різницевими співвідношеннями другого порядку точності апроксимації за формулами:

Підставляючи ці співвідношення в (9.35), відкинувши похибку апроксимації похідних, отримаємо різницеві рівняння для невідомих значень сіткової функції

        (9.38)

де введені позначення коефіцієнтів і правої частини у вузлі (х_і, y_k): а_i,k, b_i,k,c_i,k, d_i,k, g_i,k, f_i,k,  (f_i,k, = f(х_і, у_і), (х_і,y_k) ). Тут для внутрішніх вузлів використовувався п’ятиточковий шаблон (дивись рис. 9.3г).

Співвідношення (9.38) містять, крім невідомих  у внутрішніх вузлах, ще й невідомі u_i,k на границі сітчастої області. Для граничних вузлів запишемо співвідношення

0

або          

залежно від того, яка точка , або ,  перетину неперервної границі Г з лініями сітки знаходиться ближче до граничного вузла. Ці співвідношення означають, що значення u(х_і,у_к,) при (х_і,у_k)Г_h отримуються лінійною інтерполяцією значень u(x,y) у внутрішньому вузлі і в точці перетину Г з сіткою. Відкинувши в останніх співвідношеннях похибку апроксимації, дістанемо вирази для невідомих  в граничних вузлах

                 (9.39)

де введено позначення   Приєднуючи рівняння (9.39) до (9.38), отримаємо систему лінійних рівнянь відносно . У цій системі число рівнянь дорівнює числу невідомих і числу вузлів в області G_hГ_h.

Система рівнянь (9.38), (9.39) — це різницева схема неперервної задачі (9.35), (9.36). Роз’язок цієї різницевої схеми – наближення до точного розв’язку у вузлах (x_i,y_k).

Для розв’язання системи лінійних рівнянь отриманої різницевої схеми можуть застосовуватися методи, викладені в розділі 2 (метод простої ітерації).

Якщо розв'язок задачі Діріхле для заданої області і при заданих граничних умовах існує і виражається функцією  і якщо у вузлі з координатами  обраної сітки з кроком  отримано значення  шуканої функції, то похибка наближеного розв'язку може бути оцінена нерівністю де  не залежить від .

Таким чином, теоретично похибка розв'язку задачі Діріхле зменшується зі зменшенням кроку сітки як . Варто, однак, мати на увазі, що зі зменшенням кроку сітки збільшується число невідомих і відповідно порядок  системи лінійних алгебраїчних рівнянь, а це призводить, як правило, при великих  до накопичення похибок округлення.

Припустимо, що . Розв’яжемо систему лінійних рівнянь відносно  методом простої ітерації згідно з ітераційним процесом:

для внутрішніх вузлів

для граничних вузлів

  р=0,1,2,…, задане.

Доведено, що в такому разі послідовні наближення  збігаються до точного розв’язку різницевої схеми  або системи рівнянь (9.38), (9.39) і має місце оцінка

                                                                                                                                                                                                   

де .                                                                                                                                                                                   

Доведення цього твердження полягає в перевірці умови збіжності методу простої ітерації для системи лінійних рівнянь, при цьому мається на увазі, що невідомий вектор  утворюють елементи u_i,k.. Наприклад, компоненти вектора можна перенумерувати таким чином: нехай  тоді

Відносно вектора =  різницева схема є системою лінійних рівнянь у матричному записі  де матриця А має в кожному рядку не більше п’яти елементів