Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 9

                                                                                                   

, где

.

Теорема  9. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, при условии, что последние существуют.

.

Доказательство. ;

, где ..

Следствие 1. Постоянный множитель выносится за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Теорема  10. Предел частного от деления двух функций иравен частному пределов этих функций, при условии, что эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю.

.

Доказательство. ;

, где , что и требовалось доказать.

Теорема  11. При предел отношения двух многочленов равен отношению коэффициентов при высших степенях  этих многочленов, если степени многочлена числителя равна степени многочлена знаменателя. Если  , то предел равен нулю. Если , то предел равен бесконечности.

Первый замечательный предел.

.

Лекция № 17.

Второй замечательный предел.

        Пусть  тогда

1)  .Итак.

2)  Итак ;   

3) 

Итак .

4)  .

Примеры вычисления пределов.

1)   2)  3)  4)

 5)
 6) 7); 8). 

Сравнение бесконечно малых функций.

 при   (или ).

Определение. Если существует отличный от нуля и бесконечный предел отношения двух , то такие  называют одного и того же порядка малости.

 одного порядка.

Если , то есть  более высокого порядка малости, чем .

Определение. Если предел отношения двух  равен , то такие  называют эквивалентными.

.

Таблица эквивалентности: (Пусть ) :

;;; tg; ; ; arctg.

Теорема  . Предел отношения двух  функций равен пределу отношения эквивалентных им функций (если последний предел существует).

Доказательство.

, т.к..

Примеры.

1)  .

2).

3) .

Непрерывность функции.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

1)функция определена как в самой точке , так и в некоторой её окрестности;

2)существует конечные левосторонний и правосторонний пределы:

; .

3)левосторонний и правосторонний пределы совпадают со значением функции в точке , т.е.

  (1).

           .

Если учесть, что , то .

Определение. Точка , в которой функция - непрерывна, называется точкой непрерывности данной функции.

Точка  называется точкой разрыва функции, если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.

Различают точки разрыва  1 и 2 рода.

Определение. Если в точке разрыва  существует конечные левосторонний и правосторонний пределы, то эта точка называется точкой разрыва 1-го рода. Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва 1-го рода, называется точкой разрыва 2-го рода.

Теорема  1. Для того, чтобы функция  и была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому приращению аргумента соответствовало бесконечно малое приращение функции, т.е..

Доказательство. .

Теорема  2. Если функции  и  непрерывны в точке , то их сумма и произведение также непрерывны в точке .Если, кроме того , то функция - также непрерывна в точке .

Теорема  3. Сложная функция , образованная из двух непрерывных функций  и , есть непрерывная функция.

Теорема  4. Если функция непрерывна на замкнутом отрезке , то:

1)  эта функция ограничена на этом отрезке;

2)  эта функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значений;

3)  если на концах отрезка функция принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю.

Лекция № 18.

Производная и её Свойства.

;;.

закон движения точки.       ;

-мгновенная скорость точки в момент времени.

Определение. Предельное положение секущей  при условии, что точка , двигаясь вдоль кривой , бесконечно близко приближается к точке , называется касательной.                    

;

- тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент) в точке .