Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 15

То есть задача о приведении квадратной формы F() к каноническому виду  сводится к задаче о приведении к диагональному виду матрицы линейного преобразования.

План действий по приведению формы F() к каноническому виду:

1)  Составим характеристическое уравнение матрицы А: =0 и найдем и его корни  и .

2)  Находим два собственных единичных взаимно перпендикулярных  и .

3)  Перейдем к новому базису . В этом базисе А= и форма имеет вид: =

4)  При переходе к новому базису координаты всех векторов преобразуются по формулам:

 => =L или =L где L=, Lт=.

Привести к каноническому виду квадратичную формулу F= F= А=.

1)  Составим каноническое уравнение и найдем собственные векторы матрицы А. (уже нормированные)  => =L, L= При переходе к новому базису координаты всех векторов преобразуются по формулам: ;

2)  =L-1AL= LAL; === ===.

= ==

Конец линейных преобразований.

 ; =; =.

Выбор нового базиса =.  => L-1 =>   => L=

=L-1AL deb L=+=1  =L L-1=L L-1=L

====.

Привести к каноническому виду общее уравнение 2-го порядка

2+8ХУ+5У2-18Х-18У+9=0

Решение   1) Квадратная форма имеет вид: F(х1у)=5х2+8ху+5у2 => аn=5; а1221=L;а22=5; А=. Составим характеристическое уравнение:

=0  =0; (5-)2-42=0; (5--4)(5-+4)=0

(9-)(1-)=0 => 1=9; 2=1.

Следовательно, в новой системе координат квадратичная форма запишется в виде

F=1+2=9+1

2). Найдем матрицу L перехода от старой системы координат к новой. Для этого

находим собственные векторы  и  , соответствующие собственным числам

1 и 2.

а) 1=9, =; =;

  

Пусть  => ==; Выбираем  из условия

б) 2=1, =; =;

  

Окончательно имеем :  => Lт L; L; L;  

3). Найдем теперь, какой вид в новой системе координат примут младшие члены

общего уравнения в .

-18-18+9=-18-18+9=+9= =

Таким образом в новой системе координат уравнение в виде:

;  ;   

Производные высших порядков

Определение: производной n-го порядка от функции  называется производная от производной  порядка.

                             (1)

Пример 1. ; ; ; …

Пример 2. ; ; ; ; …

Формула Лейбница (дает возможность вычислять производную любого порядка от произведения 2 функций, минуя последовательное дифференцирование).

Например: найти производную n-го порядка от функции . ; ; ; ; ; ; ; . .

Ответ: .

Параметрическое представление функций. Дифференцирование функций заданных параметрически.

Определение: Кривая рассматривается как геометрическое место последовательных положений движущейся на плоскости точки М (x, y), а координаты x и y этой точки выражаются в виде непрерывных функций параметра t (чаще всего времени).

 

Например:

  - окружность;

  - эллипс;

  - циклоида.

Имеем: ;  

Пример: ; ; ; ; .

------------------------------ разрыв страницы    à середина страницы 29     -------------

 - уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Угол между плоскостями.

А)  - условие перпендикулярности двух плоскостей.

Б)   - условие параллельности двух плоскостей.

?Производные?

Производные высших порядков

Определение: производной n-го порядка от функции  называется производная от производной  порядка.

                             (1)

Пример 1. ; ; ; …

Пример 2. ; ; ; ; …

Формула Лейбница (дает возможность вычислять производную любого порядка от произведения 2 функций, минуя последовательное дифференцирование).

Например: найти производную n-го порядка от функции . ; ; ; ; ; ; ; . .

Ответ: .

Параметрическое представление функций. Дифференцирование функций заданных параметрически.

Определение: Кривая рассматривается как геометрическое место последовательных положений движущейся на плоскости точки М (x, y), а координаты x и y этой точки выражаются в виде непрерывных функций параметра t (чаще всего времени).

 

Например:

  - окружность;

  - эллипс;

  - циклоида.

Имеем: ;  

Пример: ; ; ; ; .