То есть задача о приведении квадратной формы F() к каноническому виду сводится к задаче о приведении к диагональному виду матрицы линейного преобразования.
План действий по приведению формы F() к каноническому виду:
1) Составим характеристическое уравнение матрицы А: =0 и найдем и его корни и .
2) Находим два собственных единичных взаимно перпендикулярных и .
3) Перейдем к новому базису . В этом базисе А= и форма имеет вид: =
4) При переходе к новому базису координаты всех векторов преобразуются по формулам:
=> =L или =L где L=, Lт=.
Привести к каноническому виду квадратичную формулу F= F= А=.
1) Составим каноническое уравнение и найдем собственные векторы матрицы А. (уже нормированные) => =L, L= При переходе к новому базису координаты всех векторов преобразуются по формулам: ;
2) =L-1AL= L-тAL; === ===.
= ==
Конец линейных преобразований.
; =; =.
Выбор нового базиса =. => L-1 => => L=
=L-1AL deb L=+=1 =L L-1=L-т L-1=L-т
====.
Привести к каноническому виду общее уравнение 2-го порядка
5Х2+8ХУ+5У2-18Х-18У+9=0
Решение 1) Квадратная форма имеет вид: F(х1у)=5х2+8ху+5у2 => аn=5; а12=а21=L;а22=5; А=. Составим характеристическое уравнение:
=0 =0; (5-)2-42=0; (5--4)(5-+4)=0
(9-)(1-)=0 => 1=9; 2=1.
Следовательно, в новой системе координат квадратичная форма запишется в виде
F=1+2=9+1
2). Найдем матрицу L перехода от старой системы координат к новой. Для этого
находим собственные векторы и , соответствующие собственным числам
1 и 2.
а) 1=9, =; =;
Пусть => ==; Выбираем из условия
б) 2=1, =; =;
Окончательно имеем : => Lт L; L; L;
3). Найдем теперь, какой вид в новой системе координат примут младшие члены
общего уравнения в .
-18-18+9=-18-18+9=+9= =
Таким образом в новой системе координат уравнение в виде:
; ;
Определение: производной n-го порядка от функции называется производная от производной порядка.
(1)
Пример 1. ; ; ; …
Пример 2. ; ; ; ; …
Формула Лейбница (дает возможность вычислять производную любого порядка от произведения 2 функций, минуя последовательное дифференцирование).
Например: найти производную n-го порядка от функции . ; ; ; ; ; ; ; . .
Ответ: .
Определение: Кривая рассматривается как геометрическое место последовательных положений движущейся на плоскости точки М (x, y), а координаты x и y этой точки выражаются в виде непрерывных функций параметра t (чаще всего времени).
Например:
; - окружность;
; - эллипс;
; - циклоида.
Имеем: ;
Пример: ; ; ; ; .
------------------------------ разрыв страницы à середина страницы 29 -------------
- уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Угол между плоскостями.
А) - условие перпендикулярности двух плоскостей.
Б) - условие параллельности двух плоскостей.
Определение: производной n-го порядка от функции называется производная от производной порядка.
(1)
Пример 1. ; ; ; …
Пример 2. ; ; ; ; …
Формула Лейбница (дает возможность вычислять производную любого порядка от произведения 2 функций, минуя последовательное дифференцирование).
Например: найти производную n-го порядка от функции . ; ; ; ; ; ; ; . .
Ответ: .
Определение: Кривая рассматривается как геометрическое место последовательных положений движущейся на плоскости точки М (x, y), а координаты x и y этой точки выражаются в виде непрерывных функций параметра t (чаще всего времени).
Например:
; - окружность;
; - эллипс;
; - циклоида.
Имеем: ;
Пример: ; ; ; ; .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.