Математика \ Математический анализ

Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 15

То есть задача о приведении квадратной формы F() к каноническому виду сводится к задаче о приведении к диагональному виду матрицы линейного преобразования.

План действий по приведению формы F() к каноническому виду:

1) Составим характеристическое уравнение матрицы А: =0 и найдем и его корни и .

2) Находим два собственных единичных взаимно перпендикулярных и .

3) Перейдем к новому базису . В этом базисе А= и форма имеет вид: =

4) При переходе к новому базису координаты всех векторов преобразуются по формулам:

=> =L или =L где L=, L^т=.

Привести к каноническому виду квадратичную формулу F= F= А=.

1) Составим каноническое уравнение и найдем собственные векторы матрицы А. (уже нормированные) => =L, L= При переходе к новому базису координаты всех векторов преобразуются по формулам: ;

2) =L^-1AL= L^-тAL; === ===.

= ==

Конец линейных преобразований.

; =; =.

Выбор нового базиса =. => L^-1 => => L=

=L^-1AL deb L=+=1 =L L^-1=L^-т L^-1=L^-т

====.

Привести к каноническому виду общее уравнение 2-го порядка

5Х²+8ХУ+5У²-18Х-18У+9=0

Решение 1) Квадратная форма имеет вид: F(х₁у)=5х²+8ху+5у² => а_n=5; а₁₂=а₂₁=L;а₂₂=5; А=. Составим характеристическое уравнение:

=0 =0; (5-)²-4²=0; (5--4)(5-+4)=0

(9-)(1-)=0 => ₁=9; ₂=1.

Следовательно, в новой системе координат квадратичная форма запишется в виде

F=₁+₂=9+1

2). Найдем матрицу L перехода от старой системы координат к новой. Для этого

находим собственные векторы _и , соответствующие собственным числам

₁ и ₂.

а) ₁=9, =; =;

Пусть => ==; Выбираем из условия

б) ₂=1, =; =;

Окончательно имеем : => L^т L; L; L;

3). Найдем теперь, какой вид в новой системе координат примут младшие члены

общего уравнения в .

-18-18+9=-18-18+9=+9= =

Таким образом в новой системе координат уравнение в виде:

; ;

Производные высших порядков

Определение: производной n-го порядка от функции называется производная от производной порядка.

(1)

Пример 1. ; ; ; …

Пример 2. ; ; ; ; …

Формула Лейбница (дает возможность вычислять производную любого порядка от произведения 2 функций, минуя последовательное дифференцирование).

Например: найти производную n-го порядка от функции . ; ; ; ; ; ; ; . .

Ответ: .

Параметрическое представление функций. Дифференцирование функций заданных параметрически.

Определение: Кривая рассматривается как геометрическое место последовательных положений движущейся на плоскости точки М (x, y), а координаты x и y этой точки выражаются в виде непрерывных функций параметра t (чаще всего времени).