Элементы теории определителей. Матрицы и действия над ними. Элементарные операции над матрицами. Векторное произведение и его свойства, страница 11

Пример 1. ; ; Пусть х=1 .

Пример 2. ; ; Пусть х=0 .

Пример 3. ; Пусть х=1 .

Пример 4.

Окончательно: ; ; ; .

Лекция № 21.

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма. Пусть функция , определенная на интервале , принимает в некоторой точке этого интервала , значительно большее М или наименьшее свое значение. Тогда, если в точке функция - дифференцируемая, то .

Доказательство:

1. ; -наибольшее значение. - существует, .

2. Пусть , тогда

3. Пусть , тогда

4. -существует , что и требовалось доказать.

Теорема Ролля. Пусть функция - определена и непрерывна на замкнутом отрезке и дифференцируема внутри этого сегмента, т. е. на . Если на концах сегмента функция обращается в ноль, то существует по крайней мере одна точка с этого сегмента, в которой производная равен нулю, т. е.

(1)

Другими словами, между двумя смежными корнями функции существует по крайней мере один корень производной.

Доказательство:

1. т. к. - непрерывна на замкнутом отрезке , то она обязательно достигает своего наибольшего М и наименьшего значения.

2. Если для всех .

3. Если , то одно из чисел, например точка с, где , обязательно должна быть внутренней, т. е. (по теореме Ферма): .

Примечание: Теорема остается верной и в том случае, когда .

Теорема Лагранжа. Пусть функция определена и непрерывна на замкнутом участке и дифференцирована внутри его, т. е. на часть . Тогда существует по крайней мере одна точка , в которой функция выполняла бы условия .

Доказательство:

1) Уравнение прямой проходит через 2 точки и . .

2) Рассмотрим вспомогательную функцию .

a) - определена и непрерывна на отрезке

b) - дифференцируема на отрезке , т. к. на отрезке существует .

c) по теореме Ролля ; что и т. д.

Следствие: пусть ; . , где .

Формула Лагранжа в конечном приращении имеет вид: .

Теорема Каши. Пусть функции и определены на некотором промежутке и дифференцируемы внутри его, причем . Тогда существует хотя бы одна точка в которой выполняются следующие условия.

(1)

Доказательство: вводится вспомогательная функция , удовлетворяющая всем условиям теоремы Ролля: , что и требовалось доказать.

Правило Лапиталя

Пусть:

1. и - дифференцируемы на , и

3. существует , тогда

Т. е. при раскрытии неопределенности типа , если существует предел отношений производных, то этот предел совпадает с пределом отношения самих функций.

Доказательство: Пусть и . Тогда по теореме Каши : .

Правило Лапиталя применяют для раскрытия неопределенностей типа , , . Для раскрытия неопределенностей типа ,,, требуется предварительное логарифмирование исходной функции.

Примеры: 1.; 2.; 3. 4.; 5.; 6.; ; ; .

Лекция № 22.

Приложение производной к исследованию функций и построению графиков

Определение: функция определяется на интервале , называется возрастающей на этом интервале, если большее значение аргумента соответствует большему значению функции.